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柳州文铮

CANTOR SET&ART

 
 
 

日志

 
 

圆周率(符号:π)( / Pa? / )是一个数学常数Pi  

2013-04-08 09:24:08|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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丕展开720.gif

圆周率 (符号:π)( / Pa? / )是一个数学常数 ,是一个圆周直径  ,约等于3.14159。 已经代表由希腊字母中期至18世纪以来的“π”,虽然它是也有时写为pi。π是一个非理性的数量 ,这意味着它不能确切表达两个整数 (如22/7或其它馏分中常用的近似π),因此,它的十进制表示永远不会结束,从来没有落户到一个永久的重复模式 。 出现的数字是随机分布,虽然目前尚未发现没有证据证明π是一个超越数 -一个数字,是没有任何非零多项式的根有理系数。 π的超越性意味着它是不可能解决了古的挑战,用圆规和直尺水中捞月

The number pi (symbol: π) (/pa?/) is a mathematical constant that is the ratio of a circle's circumference to itsdiameter, and is approximately equal to 3.14159. 千百年来,数学家们试图扩大他们的理解π,有时通过计算它的价值,以高度的准确性。 在15世纪之前,数学家如阿基米德刘徽用几何技术,多边形的基础上,估计π值。 新算法基于无穷级数在15世纪左右开始,彻底改变了计算π,被使用的数学家,包括艾萨克·牛顿 玛达瓦Sangamagrama , , 欧拉 , 卡尔·弗里德里希·高斯 ,和斯里尼瓦沙拉马努金 。

在20和21世纪,数学家和计算机科学家们发现了新的方法,随着计算能力相结合-当-延长π的十进制表示,截至2011年底,超过10万亿美元(10月13日 )数字。 科学的应用一般要求不超过40位数字为π,因此这些计算的主要动机是打破记录的人的欲望,但所涉及的广泛的计算已被用于测试超级计算机和高精度的乘法算法 。

因为它的定义涉及到圆,π发现许多公式, 三角 , 几何 ,特别是那些涉及圆,椭圆,或领域。 同时还发现其他科学 ??分支,如宇宙学 , 数论 , 统计 , 分形 , 热力学 ,力学 , 电磁学公式中。 π普遍存在的这一特性使它成为最广为人知的数学常数,内和外科学界几本书专门为它已经出版的数量是庆祝圆周率日 ,头条新闻通常包含有关记录报告整定计算的数字π。 有几个人一直在努力背诵π的值增加精度,导致超过67,000位的记录。

基本面
定义
标记为周围是示一个圆,标记为直径的宽度,和周边

圆的周长稍微,只要其直径的三倍以上。 精确的比率被称为π。

π一个周长 ? 直径 D通常被定义为: [1]

\ PI = \压裂{C} {D}

比C / d为常数,圆的大小无关。 例如,如果一个圆的另一个圆的直径的两倍,它也将有两倍的周围,保持比C /天 。 π这个定义是不通用的,因为它是有效的,只有在平(欧几里得)几何 ; 弯曲(非欧几里德)几何形状,它是无效的。 [1]出于这个原因,一些数学家喜欢的π的定义基于演算或不依赖圆上的三角 。 一个这样的定义是:π是两倍的最小的正数x, cos (x)的的等于0。 [1] [2]





欧拉推广使用希腊字母π在他出版于1736年和1748的作品。

数学家所使用的符号,代表圆的周长之比,它的直径是希腊字母 π。 (因此数π本身)可以表示这封信由的拉丁词PI。 [3]在英语中发音为“馅饼” ( / pa? / /pa?/ )。 [4]小写π字母π(π 的无衬线字体)Π大写字母,这表示产品序列不能混为一谈。

的最早已知的使用希腊字母π代表其直径的圆的周长之比是由数学家威廉·琼斯在他的1706工作概要Palmariorum Matheseos或,数学的一个新的简介 。 [5]希腊字母第一次出现语中的“1/2外围设备(π)”中讨论的,半径为1的圆。 琼斯可能选择,因为它是在希腊文的第一个字母拼写的字外围 π。 [6]但是,他写道,π是他的方程,导致真正巧妙的约翰·梅钦先生“从”准备好笔猜测,可能已经梅钦琼斯的前希腊字母。 [7]它确实已经使用较早的几何概念。 [7] 威廉Oughtred π和δ表达,希腊字母等值的p和d,比外围直径在1647及以后的版本中的CLAVIS数学 。

后,琼斯在1706年介绍了希腊字母,它不通过其他数学家直到欧拉开始使用它,开始他的1736工作力学 。 在那之前,数学家有时会使用如c或p,而不是字母。 [7]因为欧拉对应巨资与其他数学家在欧洲,希腊字母的使用迅速蔓延。 [7] 1748年,欧拉采用π在其广为阅读的工作导论无穷小analysin (他写道:“为了简便起见,我们将写这个数字为π;从而π等于一个半径为1的圆的周长的一半”)和实践,其后在西方世界普遍采用。[7]


属性

π是一个无理数 ,即,它可以不被写入为2的整数 ,如二十二/七或其它馏分,被常用使用近似π的比例 。 [8]由于π是不合理的,它具有一个无穷大的数字数其十进制表示 ,它并没有结束与无限重复的数字模式 。 有几个证明π是不合理的 ,他们一般需要微积分和依靠归谬法技术。 π的程度可近似为有理数 (称为非理性措施 )是不能精确已知的;估计已经建立的不合理措施是大于电子或ln(2)的措施,但小于Liouville号码的措施[9] 。


一个正方形和圆形的图表,都具有相同的面积;广场边的长度是圆周率的平方根

因为π是一个超越数 , 水中捞月,是不可能在有限的步骤,用圆规和直尺的经典工具。

π是一个超越数 ,这意味着它是合理的系数,如不解决任何非恒定多项式 \ \压裂scriptstyle {X ^ 5} {120} \  -  \ \压裂{X ^ 3} {6} \ + \ X \ = \,0。 [10] [11] π的超越性有两个重要的后果:首先,π不能被使用有理数的任意组合和平方根或n次根如表示 \ scriptstyle \ SQRT [3] {31} 或 \ scriptstyle \ SQRT [2] {10}。 其次,由于没有超越数可以构造指南针和直尺 ,它是没有可能的“ 方的圆“。 换句话说,这是不可能的构造,使用指南针和直尺单独的正方形,其面积等于一个给定的圆的面积。磨边一个圆圈是古典古代的一个重要的几何问题。 [13 [12]业余数学家近代有时试图圆方,,有时声称成功,但事实上,这是不可能的。 [14]

π的数字之和有没有明显的图案,并通过统计的随机性测试,包括测试常态无限长一些被称为正常的,所有可能的序列的位数(任何给定的长度)时,经常会出现同样的。 [15]的假设,即π是正常的还没有被证实或证伪。 [15]由于计算机的出现,大量的数字π已经上进行统计分析。 保正金田 π的小数点后的位数进行了详细的统计分析,发现它们符合正态的,例如,十个数字0到9的频率进行统计显着性检验 ,没有证据显示的图案被发现。 [16]尽管π的位数的事实,通过统计的随机性测试π包含一些数字序列,可能会出现非随机的非数学家,如费曼点 ,这是一个序列的六个连续的9,在第762次的小数位的十进制表示的π [17]开始


续分数
希腊字母pi的照片,作为一个大型的石材马赛克嵌在地面创建。

常数π表示在这个镶嵌柏林工业大学数学馆外。

像所有的无理数,π不能作为一个简单的分数表示。 但是,每一个无理数,π,可以表示为一个无穷级数嵌套的馏分,称为连分数 :

\ PI = 3 + \文字样式\压裂{1} {7 + \文字样式\压裂{1} {15 + \文字样式\压裂{1} {1 + \文字样式\压裂{1} {292 + \文字样式\压裂{ 1} {1 + \文字样式\压裂{1} {+ \文字样式\压裂{1} {1 + \ ddots}}}}}}}

OEIS A001203

在任何点截断续馏分产生的一小部分,提供了一个近似为π,两个这样的馏分(22/7和一百十三分之三百五十五的)已经被用于近似恒定的历史。 以这种方式产生的每个近似是一个最好的有理近似的,也就是说,每一个比任何其他部分具有相同或更小的分母接近π。 [18]虽然简单连分数的π(如上所示)并没有表现出图案, [19]已经发现了几个数学家广义连分数 ,如: [20]

\ PI =:\文本样式\ cfrac {4} {1 + \文字样式\压裂{1 ^ 2} {2 + \文字样式\压裂{3 ^ 2} {2 + \文字样式\压裂{5 ^ 2} {2 + \文字样式\压裂{7 ^ 2} {2 + \文字样式\压裂{9 ^ 2} {2 + \ ddots}}}}}} = 3 + \文字样式\压裂{1 ^ 2} {6 + \文字样式\压裂{3 ^ 2} {6 + \文字样式\压裂{5 ^ 2} {6 + \文字样式\压裂{7 ^ 2} {6 + \文字样式\压裂{9 ^ 2} {6 + \ ddots}}}} } = \文字样式\ cfrac {4} {1 + \文字样式\压裂{1 ^ 2} {3 + \文字样式\压裂{2 ^ 2} {5 \文字样式\压裂{3 ^ 2} {7 + \文字样式\压裂{4 ^ 2} {9 + \ ddots的}}}}}


大约值

一些近似的π包括:


分数 :近似分数包括为了提高精度,。 [18]
十进制 :第100位十进制数字为3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 .... [21] OEIS A000796
二进制 :11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 ....
十六进制 : 基地 16逼近20位3.243F 6A88 85A3 08D3 1319 .... [22]
六十进制 :基本60近似3:8:29:44:1
历史
另请参阅: π的计算年表
古代

吉萨大金字塔 ,建造?。 公元前2589年至2566年,始建与周边约1760  ,高约280肘,比二百八十零分之一千七百六≈6.2857约等于2π≈6.2832。 基于这个比例,一些埃及古物学家认为,金字塔的建造者有知识π和故意设计金字塔的比例纳入了一圈。 [23]另一些人则认为,建议到π的关系仅仅是一个巧合,因为没有证据金字塔的建造π任何知识,因为金字塔的尺寸是基于其他因素。 [24]

最早被发现在埃及和巴比伦 ,无论是书面π的近似值的真正价值的1%以内。 在巴比伦泥板于公元前1900年至1600年,有一个几何语句,通过暗示,将π为25/8 = 3.1250。 [25]在埃及, 莱因德纸莎草 ,于公元前1650年左右,但是从日刊发的文件复制到公元前1850年有一个圆圈,把π(16/9)2≈3.1605的面积公式为[25] 。

在印度,公元前600年左右, Shulba的的佛经 (数学内容丰富的梵文文本)治疗π为(5568分之9785)2≈3.088。 [26]在公元前150年,或者更早,印度源对π作为 \ scriptstyle \的平方根{10}≈3.1622。 [27]

希伯来文圣经 (书面第八公元前3世纪之间)两节经文描述了一个直径十 ,周长30肘;诗句礼仪池在所罗门圣殿意味着π大约是三池是圆形[28] [29] 尼希米拉比解释为是由于容器的厚度的差异。 他的早期作品几何, Mishnat HA-“·” ,公元150年左右写的,π的值是三七分之一。 [30]的π#应归圣经的值逼近 。


多边形逼近时代“
外面一个圆圈外接一个六边形和五边形图

可估计π计算外切和内切多边形的周长。

严格计算π值的第一个记录的算法是使用多边形,由希腊数学家阿基米德公元前250年左右设计的几何方法[31]这个多边形的算法超过1000年的为主,由于π有时也被称为“阿基米德”常数“。 [32]阿基米德计算π绘制一个正六边形内外转了一圈,并连续翻番达到96双面正多边形的边数,直到他上限和下限。 通过计算这些多边形的周长,他证明七十一分之二百二十三<π<22/7(3.1408 <π<3.1429)。 [33]阿基米德的22/7的上限可能导致一种普遍流行的信仰,π是等于22/7。 [34]公元150年左右,古希腊-罗马科学家托勒密在他的“天文学大成” ,给的值π为3.1416,这是他可能已经获得,从阿基米德或从阿波罗尼奥斯 [35]使用多边形的数学家算法在1630年达到了39位的π,用无穷级数达到71位数,仅在1699年打破的纪录。 [36]


一幅画,一个人学习

阿基米德开发接近π的多边形的方法。

在中国古代,π的值包括3.1547(公元1年左右), \ scriptstyle \的平方根{10} 公元100年,(约3.1623),四十五分之一百四十二(3世纪,约3.1556)。 [37]大约公元265年, 曹魏数学家刘徽建立了一个基于多边形的迭代算法 ,并用它与3,072双面多边形取得值π3.1416。 [38] [39]柳购买发明了一种更快速的方法计算π,获得3.14的值与96边的多边形,通过利用了这一事实,在连续的多边形的面积的差异形成一系列的几何与4倍。 [38]中国数学家祖冲之 ,公元480年左右,计算,π≈355/113(去的名字米卢在中国的一个部分),使用柳慧的算法应用到12,288边的多边形。 有了正确的值七个第一个小数字,这个值3.141592920 ... π可在未来800年仍然是最准确的逼近。[40]

印度天文学家Aryabhata的使用了价值3.1416在他的?ryabha?īya中 (公元499年) [41] 。 斐波那契在c。 :3.1418 1220计算使用多边形法,独立阿基米德。 [42]意大利作家但丁显然受雇于值 \ scriptstyle 3 + \开方{2} / 10 ≈3.14142。 [42]

的的波斯 ??天文学家JamshīdAL-喀什产生16位1424年获得9个3×2 28侧, [43] [44]里面放着约180年的世界纪录。 [45]法国数学家韦达弗朗索瓦在1579年使用的多边形数字与多边形的3×2 17侧。 [45]佛兰芒数学家阿德里安面包车Roomen到小数点后15位在1593年。 [45] 1596年,荷兰数学家鲁道尔夫·Ceulen达到20位,创下了他后来增加至35位(作为一个结果,π称为“Ludolphian的号码”在德国,直到20世纪初)。 [46]荷兰科学家Willebrord斯涅耳在1621年达到了34位, [47]和奥地利天文学家Christoph Grienberger的的到达38位,在1630年,这仍然是最准确的近似手动使用多边形算法实现[48] [47]


无穷级数

计算π的无穷级数的发展,在16世纪和17世纪的技术革命。 无穷级数无限序列的条款[49] 。无穷级数允许数学家的总和来计算π的更大的精度比阿基米德和其他人谁使用几何技术[49]虽然无穷级数π利用最显着的。欧洲的数学家,如詹姆斯·格雷戈里戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 ,这种方法最早是在印度发现的公元1400年和1500年之间的某个时候。 [50]第一书面说明一个无穷级数,可以用来计算π奠定了在梵文经文印度的天文学家Nilakantha Somayaji在他的Tantrasamgraha中 ,公元1500年左右。 [51]该系列产品都没有证明,但证明在以后的印度工作, Yuktibhā?ā ,从公元1530年左右。 属性Nilakantha系列较早的印度数学家, 玛达瓦Sangamagrama ,谁住?。1350 - 。 (1425) [51]的几个无穷级数进行了描述,包括串联的正弦,正切,余弦,现在被称为玛达瓦系列系列格雷戈里-莱布尼茨 。 [51]玛达瓦使用无穷级数来估计π到11位的周围1400年,但这个纪录被殴打的的波斯 ??数学家JamshīdAL-喀什约1430 ,使用多边形算法。 [52]


长头发的男人,一个正式的肖像

艾萨克·牛顿无穷级数计算π到15位数字,后来写作“我很惭愧地告诉你多少数字我进行这些计算”。 [53]

在欧洲发现的第一个无限序列是无限的产品 (而不是无限的总和 ,这是通常用π计算)在1593年由法国数学家韦达弗朗索瓦 : [54]

\ frac2 \ PI = \压裂{\ SQRT2} 2 \ CDOT \压裂{\开方{2 + \ SQRT2}} 2 \ CDOT \压裂{\开方{2 + \开方{2 + \ SQRT2}}} \ cdots OEIS A060294

第二个无限序列发现,在欧洲,在1655年由约翰·沃利斯 ,这也是一个无穷乘积。 [54]发现结石 ,由英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家莱布尼茨在17世纪60年代,导致许多无限的发展系列相若π。 ,牛顿自己用反正弦系列在1665年或1666计算出一个15位的π近似值,后来写作“我很惭愧地告诉你多少数字我进行这些计算的时候,有没有其他的业务。” [53]

在欧洲,玛达瓦的公式被重新发现,于1671年由苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里 ,莱布尼茨在1674年[55] [56]

\ ARCTAN Z = Z  -  \压裂{Z ^ 3} {3} + \压裂{Z ^ 5} {5}  -  \压裂{Z ^ 7} {7} + \ cdots

这个公式,格雷戈里 - 莱布尼茨系列的,等于 \ scriptstyle \ PI / 4 评估时,Z = 1。 [56]在1699年,英国数学家亚伯拉罕·夏普使用格雷戈里-莱布尼茨系列计算π到71位,39位,这是一套多边形算法打破了此前的纪录。 [57]格雷戈里-莱布尼茨系列是简单的,但非常缓慢地收敛 (即,逐渐接近答案),因此它不被使用在现代π计算。 [58]

[59]在1706年约翰·梅钦用格雷戈里-莱布尼茨系列产生的算法融合快得多:

\压裂{\圆周},{4} = 4 \ \ ARCTAN \压裂{1} {5}  -  \ ARCTAN \压裂{1} {239}

梅钦达到100位的π这个公式。 [60]其他数学家创造出来的变种,现在被称为加工公式类似 ,分别用来设置几个π数字的连续记录。 [60]加工像公式仍然是最知名的为计算π顺利进入电脑时代,分别用来设置记录250年,最终在620位逼近1946年由丹尼尔·弗格森-不借助计算设备实现最佳逼近。 [61]的方法

骄人的战绩计算神童撒迦利亚案例分析 ,在1844年德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的遗志雇用梅钦样的公式来计算π的200位小数在他的头上。 [62]英国数学家威廉·尚克斯著名花了15几年来计算出π到707的数字,但犯了一个错误,在第528位的数字,使所有后续数字不正确。 [62]


的收敛速度

有些π的无穷级数收敛比别人快。 鉴于两个无限π系列的选择,数学家通常会使用一个更迅速收敛,因为更快的收敛速度降低了所需的计算量来计算出π任何给定精度。 [63]一个简单的无穷级数π是格雷戈里莱布尼茨系列 : [64]

\ PI = \压裂{4} {1}  -  \ + \压裂{4} {5}  -  \压裂{4} {7} + \压裂{4} {9}  -  \压裂压裂{4} {3} {4} {11} + \压裂{4} {13}  -  \ cdots

由于这个无穷级数的各个方面已加入的总和,总逐渐得到接近π,及-与足够数量的术语-可以得到尽可能接近π随意。 相当缓慢收敛,虽然- 50条款后,它会产生只有五π正确的小数位数。 [65]

π(由Nilakantha出版在15世纪),无穷级数收敛比格雷戈里-莱布尼茨系列的更迅速: [66]

\ PI = 3 + \压裂{4} {2 \ times3 \时间4}  -  \压裂{4} {4 \ times5上\ times6} + \压裂{4} {6 \ times7上\ times8}  -  \压裂{4} { 8 \ times9 \ times10} + \ cdots

下表比较了这两个系列的收敛速度:

π的无穷级数 经过第一学期 第二学期后 第三届后 第四届后 第五届后 收敛到:
\ scriptstyle \ PI = \压裂{4} {1}  -  \压裂{4} {3} + \压裂{4} {5}  -  \压裂{4} {7} + \压裂{4} {9}  - \压裂{4} {11} + \压裂{4} {13} \ cdots。 4.0000 2.6666 ... 3.4666 ... 2.8952 ... 3.3396 ... π= 3.1415 ...
\ scriptstyle \ PI = {{3}} + \压裂{4} {2 \ times3 \时间4}  -  \压裂{4} {4 \ times5上\ times6} + \压裂{4} {6 \ times7上\ times8} \ cdots。 3.0000 3.1666 ... 3.1333 ... 3.1452 ... 3.1396 ...

经过五个方面,是正确的π值在0.2的格雷戈里-莱布尼茨系列的总和,,而总和的Nilakantha系列是在正确的π值0.002。 Nilakantha级数收敛速度快,计算π的数字是比较有用的。 系列,甚至更快收敛的级数Chudnovsky系列 ,后者生产每学期14个正确的小数位数。 [63]


非理性和超越

并非所有的数学进步到π旨在增加的准确性近似。 当欧拉解决了巴塞尔的问题在1735年,他找到确切值的倒数平方的总和,成立π和后来黎曼zeta函数的开发和研究做出了贡献的素数之间的连接: [67]

\压裂{\ PI ^ 2} {6} = \压裂{1} {1 ^ 2} + \压裂{1} {2 ^ 2} + \压裂{1} {3 ^ 2} + \压裂{1} {4 ^ 2} + \ cdots

瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特在1761年证明,π是不合理的 ,这意味着它不等于整个任何两个数字的商。 [8] 兰伯特的证明利用正切函数的一个持续的分数表示。 [68]法国数学家阿德里安-玛丽·勒在1794年证明了,那π2也是不合理的。 1882年,德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明π是超越 ,确认和欧拉提出的一个猜想。 [69]


电脑时代和迭代算法
一个秃顶男子身穿西装的正式照片

约翰·冯·诺伊曼是首次使用一台电子计算机ENIAC ,计算π的团队的一部分。

高斯-勒迭代算法 : 
初始化

\ scriptstyle A_0 = 1 \四B_0 = \压裂{1} {\ SQRT 2“} \四T_0 = \压裂{1} {4} \四P_0 = 1

重复

\ A_ scriptstyle {N +1} = \压裂{A_N + B_N} {2} \四\四B_ {N +1} = \开方{A_N,B_N}
\四\四\:T_ scriptstyle {N +1} = t_n中 -  P_N(A_N A_ {N +1})^ 2 P_ {N +1} = 2 P_N

然后为π的估计值由下式给出

\ scriptstyle \ PI约\ \压裂{(A_N + B_N)^ 2} {4 t_n}


 

计算机的发展在20世纪中叶的又一次革命性的数字π追捕。 美国数学家约翰·扳手和列维·史密斯在1949年达到了1,120位使用一台计算器。[70]使用反正切无限系列,由乔治Reitwiesner的约翰·冯·诺伊曼领导的一个小组取得了2,037位计算,花了70个小时的电脑时间ENIAC计算机,总是依靠反正切系列,记录一再被打破(7,480位在1957年,10,000位在1958年,在1961年的100,000位),直到在1973年达到1万位[71] [72]

另外两个在1980年左右的发展再次加速的能力来计算出π。 首先,发现了新的迭代算法,用于计算π,速度远远超过无穷级数;第二,本发明的快速乘法算法 ,可以非常迅速大数相乘。 [73]这样的算法是特别重要的,在现代π计算,因为大多数计算机的时间是专门的乘法运算。 [74] ,包括Karatsuba算法 , TOOM库克乘法傅里叶变换为基础的方法 。 [75]

迭代算法,分别刊登在1975年至1976年由美国物理学家尤金萨拉明和澳大利亚的科学家理查德·布伦特 。 [76]这些避免依赖无穷级数。 一个反复的重复一个特定的计算算法,每次迭代中,使用先前的步骤的输出作为其输入,并产生一个结果收敛到所需的值中的每个步骤。 这种做法实际上是超过160年发明的,由卡尔·弗里德里希·高斯 ,什么是现在称为算术几何平均法 (AGM法)或高斯-勒算法 [76]萨拉明和布伦特修改,它也被称为作为布伦特萨拉明算法。

迭代算法被广泛应用于1980年以后,因为他们的速度比无穷级数算法:通常会增加,而无穷级数在连续正确的数字相加,迭代算法一般在每一步正确的数字乘人数。 例如,布伦特萨拉明算法在每次迭代中的数字位数的两倍。 1984年,加拿大兄弟约翰彼得Borwein产生四倍的数字位数在每个步骤中的迭代算法,该算法,并于1987年,使用[77]中的每个步骤的数量增加的数字五次迭代法由日本的数学家保正金田创下了几个纪录来计算π在 1995年和2002年之间。 [78]这种快速收敛是要付出代价的:迭代算法需要更多的内存比无穷级数。 [78]


计算π的动机


数学家发现了新的算法和计算机面世,已知π的小数点后的位数数量急剧增加。

对于大多数涉及π的数值计算,极少数的数字提供足够的精度。 据约尔格·阿恩特和Christoph黑内尔,39位是足以执行大多数宇宙学计算,因为那是必要的精度计算已知的宇宙的体积与一个原子的精确度。 [79]尽管如此,人们曾发奋计算π到数以千万计的数字。 [80] [81] [82]这方面的努力可以部分归因于人类强迫破纪录,这样的成绩与π往往使世界各地的头条新闻。他们也有实际的好处,如测试超级计算机 ,测试数值分析算法(包括高精度乘法算法 ),并在纯数学本身,提供数据评估数字π的随机性。 [83]


迅速收敛级数
一个人的肖像照片

工作在隔离在印度, 拉马努金斯里尼瓦沙 ,产生了许多创新的一系列计算π。

现代π计算器不使用专门的迭代算法。 新发现无穷级数,但在20世纪80年代和20世纪90年代,是尽可能快地迭代算法简单,而且不占用大量内存。 [78]的快速迭代算法,预计在1914年,当印度数学家拉马努金斯里尼瓦沙发表了数十篇创新的新公式π,显着,为他们的优雅,数学的深度,并快速收敛。 [84]他的公式,基于模块化方程 :

\压裂{1} {\ PI} = \压裂{2 \开方2} {9801} \ sum_ {K = 0} ^ \ infty的\压裂{(4K)(1103 26390 K)} {(k!)^ 4 396 ^ {4k的}}

该系列多比大多数反正切系列,包括MACHIN公式更迅速收敛。 [85] 比尔·高斯帕是首先使用它计算π的进步,在1985年设置1700万位数的记录。 [86]拉马努金的公式预期Borwein的兄弟Chudnovsky的兄弟现代开发的算法[87]在1987年开发的的Chudnovsky公式

\压裂{426880 \的平方根{10005}} {\ PI} = \ sum_ {K = 0} ^ \ infty的\压裂{(6K)! (13591409 + 545140134k)} {(3000)(k!)^ 3(-640320)^ {3000}}

它产生π每学期约14位, [88] ,并已用于多家唱片设置π计算,包括超越(10 9)在1989年的数字由Chudnovsky兄弟,2.7万亿(2.7×10 12) 法布里斯贝拉德于2009年,并在2011年的10万亿美元(10月13日 )数字由Alexander Yee和近藤茂位数[89] [90]

2006年,加拿大数学家西门普劳夫使用的的整数关系 PSLQ 算法 [91] ,以产生一些新的公式,π,符合以下模板:

\丕^ K = \ sum_ {N = 1} ^ \ infty的\压裂{1} {N ^ k}的\(\压裂{} {Q ^ N-1} + \压裂{B} {Q ^ { 2N} -1} + \压裂{C} {Q ^ {4N} -1} \右)

哪里 \ mathit {Q}  (葛尔方常数), \ mathit {K} 是一个奇数 ,并且 \ mathit {A,B,C} 一定有理数普劳夫计算。 [92]


插销算法

两种算法被发现在1995年的研究开辟了新途径,为π。 它们被称为插口的算法 ,因为像滴水从沉头孔,它们会产生不重复使用后计算的单一的数字之和π。 [93] [94]这是在无穷级数相反或迭代算法,保留并使用[93]所有中间的数字,直到最终的结果就产生了。

美国数学家斯坦旅行车和斯坦利·拉比诺维茨在1995年制作一个简单的水龙头算法[94] [95] [96]它的速度是反正切算法相媲美,但不能作为快速迭代算法[95]。

的另一个插口的算法, BBP 数字提取算法 ,发现于1995年,由西蒙·普劳夫: [97] [98]

\ PI = \ sum_ {i = 0} ^ \ infty的\压裂{1} {16 ^} \(\压裂{4} {8I + 1}  -  \压裂{2} {8I + 4}  -  \压裂{1} {8I + 5}  -  \压裂{1} {8I + 6} \右)

与别人之前不同的是,这个公式,可以不计算前面的数字产生任何个人的十六进制数字的π [97]个人八进制或二进制数字,则可将提取出来的十六进制数字。 已发现的算法的变化,但至今尚未发现,迅速 ??产生小数位数没有两位数的提取算法。 [99]数字提取算法的一个重要应用是验证新的索赔记录π的计算:一个新的记录后声称,十进制的结果被转换为十六进制数,然后一个数字提取算法是用来计算一些随机的十六进制数字接近尾声,如果它们匹配,这提供了一定程度的信心,在整个计算是正确的。[90]

在1998年和2000年之间,在分布式计算项目PiHex使用贝拉德的公式 (BBP算法的修改)来计算的千万亿分之一(10的15次方)位的π,其中翻出来是0。 [100]在二零一零年年9月,一个雅虎千台计算机上员工使用公司的Hadoop应用程序在一个23天的期限来计算256 的π两千万亿位(2×10的15次方) [101] 。


使用
主要文章: 涉及π的公式列表

因为π是密切相关的圈子,它被发现在许多公式,几何和三角学等领域,特别是那些涉及圈,球,或椭圆形。 从其他科学 ??分支公式还包括在一些重要的公式,包括科学,如统计,分形,热力学,力学,宇宙学,数论,电磁π。


几何和三角
阿图一圈圈与一个正方形黄花菜圆的右上象限。

圆面积等于π乘以阴影区。

π出现几何形状的基础上界,如椭圆形 , 球体 , 圆锥体 , 托里面积和体积公式。 一些比较常见的公式,涉及π: [102]


圆的周长与半径 r 2 \ PI?
半径为r的圆的面积是 \ PI R ^ 2
半径为r的球体的体积是 \ tfrac43 \ PI R ^ 3
半径为r的球体的表面积是 4 \ PI R ^ 2

π出现在定积分描述界所产生的形状的周长,面积或体积。 例如,一半的面积的圆的半径为1的一个不可分割的,指定由下式给出: [103]

\ INT_ {-1} ^ 1 \开方{1-X ^ 2} \ DX = \压裂{\ PI} {2}

在这积分功能 \ scriptstyle \开方{1-X ^ 2} 表示一个圆的上半部分( 平方根 毕达哥拉斯定理的结果),和积分 \ scriptstyle \ INT_ {-1} ^ 1 计算的半圈与x轴之间的区域。


图中显示了图形功能

正弦??余弦函数的重复周期为2π。

三角函数依赖角度,的数学家一般使用弧度π发挥着重要的作用,以弧度为单位的角度,定义了一个完整的圆跨越2π弧度的角度为计量单位。 [104]的角度测量等于π弧度为180°,1°=π/ 180弧度[104]。

常见的三角函数周期为π的倍数,例如,正弦和 ??余弦周期2π, [105]因此对于任一角度θ,并任意的整数 k, \ scriptstyle \罪\θ= \罪\左\(θ+ 2 \圆周率K表\右) 和 \ scriptstyle \ COS \θ= \ COS \左\(θ+ 2 \ \ PI K表)。 [105]


蒙特卡罗方法
针的长度?散落在条纹宽度t
布冯的针 。 针a和 b是随机丢弃。
千点随机覆盖一个正方形和一个圆刻在广场
随机点被放置在一个正方形,其内接的圆。
蒙特卡洛方法 ,基于随机试验,可以用来近似π。

蒙地地卡罗方法 ,评估多个随机试验的结果,可以被用于创建逼近π [106] 布冯的针是一种这样的技术:如果长度为?的针被丢弃n倍的表面上在其上的平行线是绘制T台分开,如果x的那些时间来休息几根线(X> 0),则可能是近似的π基于计数: [107]

\丕\约{2N \ \压裂ELL} {XT}

另一个蒙特卡罗方法计算π是画一个圆,刻在广场,在广场上随机放置点。 的圆圈内的点的点的总数的比例将大约等于 \ scriptstyle \ PI / 4。 [108]

蒙特卡洛方法近似π很慢与其他方法相比,从来没有使用近似的π时所需的速度和精度。 [109]


复杂的数字和分析
在复平面的起源中心的单位圆的图表,包括射线从中心到其边缘的圆,三角形的腿打成正弦和余弦函数。

数字e虚权力和欧拉公式给出在复平面原点为中心的单位圆之间的关联。

说Z,不限复数 ,可以表示使用的一对实数 。 在极坐标系中 ,被用来表示一个数字(半径或r)z'的距离,从复平面原点 ,另一个(角度 ??或φ),从如下的正实线代表逆时针旋转 : [110]

Z = R \ CDOT(\余弦\ varphi + \罪\ varphi)

其中i是虚数单位,满足I 2 = -1。 π在频繁出现的复杂的分析,可以涉及到一个复杂的变量的指数函数的行为,所描述的欧拉公式 : [111]

E ^ {\ varphi} = \余弦\ varphi + \罪\ varphi

其中, 常数 e自然对数的基础。 这个公式建立e和虚权力的起源中心在复平面上的单位圆上的点之间的对应关系。 设置φ=π欧拉公式结果在庆祝数学家欧拉恒等式 ,因为它包含了五个最重要的数学常数: [111] [112]

E ^ {I \ PI} + 1 = 0

有n个不同的复数 ?满足 Z ^ n = 1时 ,这些被称为“第n个单位根 “ [113],由如下公式给出:

E ^ {2 \ PI IK / N} \ qquad(K = 0,1,2,\点,N  -  1)

柯西积分公式管理复杂的分析功能,并建立整合与分化之间的重要关系,其中包括一个复杂的函数的值在一个封闭的边界,在边界上的值完全取决于一个明显的事实: [114] [115]

(Z_ {0})= \压裂{1} {2 \ PI I} \ oint_ \伽玛{F(Z)\超过Z-Z_0} \ DZ


蓝色背景上的黑色形状复杂。

π Mandelbrot集 ,可以计算计数点之前所需的迭代(-0.75,ε)发散。

π在Mandelbrot集 的分形发生在1991年由美国人大卫伯尔发现[116]他检查了附近的“脖子”Mandelbrot集的行为(-0.75,0)。 如果点坐标为(-0.75,ε),被认为是,当ε趋于零,乘以ε收敛到π的点的数目迭代,直到发散。 Mandelbrot集的右侧上的尖 ??点的大的“谷”的点(0.25,ε),行为与此类似的迭代次数,直到发散的平方根乘以ε趋于π。 [116] [117]

伽玛函数的概念延伸因子 -通常被定义为整数-所有实数。 当伽玛函数进行评估,结果在半整数例如含有π; \ scriptstyle \伽马(1/2)= \开方{\丕}的 和 \ scriptstyle \伽玛(5/2)= \压裂{3 \开方{\ PI}} {4} [118]的伽马函数可以用来建立一个简单的近似 \ scriptstyle N! 为大 \ scriptstyle N : \ scriptstyle N! \ SIM \开方{2 \ PI N} \(\压裂{n}的{E} \右)的n次方 这是已知的[119] 斯特林近似 。


数论和黎曼zeta函数

黎曼ζ函数 ζ(s)是用在数学的许多领域。 当评估 \ scriptstyle = 2 它可写为

\泽塔(2)= \压裂{1} {1 ^ 2} + \压裂{1} {2 ^ 2} + \压裂{1} {3 ^ 2} + \ cdots

无穷级数寻找一个简单的解决方案,这是一个著名的数学问题,被称为巴塞尔的问题 。 欧拉解决了它在1735年时,他表现出它等于 \ scriptstyle 6 / \ PI ^ 2 [67] 。欧拉的结果,两个随机数的概率是互质的 (即,不具有共享的因素)导致的数论结果等于 \ scriptstyle 6 / \ PI ^ 2 [120] [121]此概率是基于这样的观察,任何数量的概率是素数整除 \ scriptstyle p 是 \ scriptstyle 1 / (例如,每一个第7的整数约数7)因此,两个数字都是这个质数约数的概率是 \ scriptstyle 1 / P ^ 2 的概率,其中至少有一个是不 \ 1-1 scriptstyle的/ P ^ 2 。 对于不同的素数,这些可分事件是相互独立的,所以两个数是互质的概率给出了一个产品超过所有素数: [122]

\ prod_p ^ {\ infty的} \左(1  -  \压裂{1} {P ^ 2} \右)= \左(\ prod_p ^ {\ infty的} \压裂{1} {1-P ^ {-2} } \右)^ {-1} = \压裂{1} {1 + \压裂{1} {2 ^ 2} + \压裂{1} {3 ^ 2} + \ cdots} = \压裂{1} { \泽塔(2)} = \压裂{6} {\ PI ^ 2} \约61 \%

此概率,可以使用与随机数发生器一起使用Monte Carlo方法的近似π [123]


物理

虽然不是一个物理常数 ,π经常出现在方程描述了宇宙的基本原则,往往是因为π圆球形坐标系的关系。 从经典力学领域的一个简单的公式给出了一个简单的长L近似周期T ,摆动小振幅(g为地球的重力加速度 ): [124]

T \约2 \ PI \ SQRT \压裂{L} {G}

量子力学公式关键之一海森堡的不确定性原理 ,显示测量一个粒子的位置(Δx)和动量 (ΔP)中的不确定性不能既可以任意小,在相同的时间(地方?是普朗克常数 ): [125]

\三角洲X \ \压差\ GE \压裂{H} {4 \ PI}

宇宙学领域,π出现在1的根本公式: 爱因斯坦的场方程 ,其中形成一般的相对论理论的基础,并介绍了万有引力 根本互动 时空弯曲的 物质能量的结果: [126 ]

G_ R_ {IK}  -  {{IK} r \超过2} + \拉姆达:G_ {IK} = {8 \ PI?\在c ^ 4} T_ {IK}

哪里 R_ {IK} \ 是Ricci曲率张量 , R \, 是标量曲率 , G_ {IK} \ 是度量张量 , \拉姆达\, 是宇宙学常数 , \?, 是牛顿万有引力常数 , C \ 是在真空中的速度 ,并 T_ {IK} \ 是应力-能量张量

库仑定律 ,从电磁学的学科,描述了电场的两个电荷 (Q 1和Q 2)之间分隔的距离为r(ε0表示真空介电常数的可用空间): [127]

F = \压裂{\左右| q_1q_2 \ |} {4 \ PI \ varepsilon_0 R ^ 2}

的事实,π为约等于3起到了重要作用,在相对 ??长的寿命orthopositronium 。 逆寿命最低阶的精细结构常数 \阿尔法 由下式给出: [128]

\压裂{1} {\牛头} = 2 \压裂{\ PI ^ 2  -  9} {9 \ PI} \阿尔法^ {6}

其中,m是电子质量。


概率论与数理统计


高斯函数的曲线图 
f(X)= E - ×2。 的功能和与x轴之间的着色区域面积 \ scriptstyle \ SQRT {\圆周}, 。

概率统计领域经常使用正态分布作为一个简单的模型,复杂的现象,例如,科学家们普遍认为在大多数实验的观测误差服从正态分布[129] π 高斯函数 (这是被发现在的正态分布的概率密度函数 )与平均值 μ和标准偏差 σ: [130]

函数f(x)= {1 \过\ \开方{2西格玛\ PI}} \,E ^ { - (X-\亩)^ 2 /(2 \六西格玛^ 2)}

高斯积分正态分布曲线的曲线下的面积由下式给出: [130]

\ INT_ { -  \ infty的} ^ \ infty的E ^ {-X ^ 2} \,DX = \开方{\ PI} ,

而相关积分的柯西分布

\ INT_ { -  \ infty的} ^ {\ infty的} \压裂{1} {X ^ 2 +1} \ DX = \ PI 。


工程地质

π是存在于一些结构工程的配方,例如由欧拉公式,给出了最大长,细长柱的长度为L, 弹性模量的弹性 E, 面积惯性矩的轴向载荷F能进行不屈曲的屈曲 : [131]

F = \压裂{\丕^ 2EI} {L ^ 2}

流体动力学领域的含有π 斯托克斯定律 ,小,半径为R的球状物体施加的摩擦力 F相若,以速度v运动的流体 的动力粘度 η: [132]

F = 6 \ \ PI \ \埃塔\ R \,V

傅里叶变换是一种数学运算,作为频率的 函数 ,被称为它的频谱表示时间。 它有许多应用物理工程中,特别是在信号处理 : [133]

\帽子{}(\ XI)= \ INT_ { -  \ infty的} ^ {\ infty的} F(x)的\ E ^ { -  2 \ PI九\ XI} \,DX

在理想条件下(统一的缓坡上均匀侵蚀基板),一条蜿蜒的河流弯度接近π。 弯度的实际长度之间的比例,从源口直线距离。 更快的电流沿着河流的弯曲的外边缘会导致更多比内沿边缘的侵蚀,从而推弯曲,甚至更远的地方,增加河流的整体loopiness。 然而,这最终导致loopiness河双回自己的地方和“短路”,在这个过程中创建一个牛轭湖 。 这两个相反的因素之间的平衡,导致π之间的实际长度,源和嘴之间的直接距离的平均比值为[134] [135]


外科学
记忆数字
主要文章: Piphilology的

许多人记忆大量的数字π,这种做法名为piphilology的 [136]一个常用的方法是记住了一个故事或一首诗,其中π字长度表示数字:第一个字有三个字母,有一个第二个字,有四个第三,第四,第五个有五个,依此类推。 一个背诵援助,最初设计由英国科学家詹姆斯牛仔裤 ,一个早期的例子是:“我如何想喝酒,酒精当然,沉重的讲座后,涉及量子力学”。 [136]当一首诗,有时是简称为一个“piem”。 除了 ??英语,背诵π的诗已经在几种语言组成。 [136]

背诵π,由吉尼斯世界纪录认证,数字的记录是67,890位,根据中国的吕超 2005年11月20日在24小时4分钟[137] [138]在2006年, 原口晃 ,一个日本退役。工程师,声称背诵100,000小数,但索赔尚未验证吉尼斯世界纪录。 [139]记录π存储器通常不依赖于诗,而是使用方法,如记住数字的模式和方法的位点 [140]

几个作者使用的数字π建立一种新形式的约束写作 ,字长度必须代表数字π。 装饰乐段Cadaeic包含第3835位的π以这种方式, [141]和全长的书还不是唤醒包含万的话,每一个代表一个数字的π [142]


在通俗文化
:裨批莪在代尔夫特大学

一个PI馅饼。 圆形馅饼,使得频 ??繁的主题PI 双关语 。

也许是因为它的定义和它无处不在公式中的简单,π已经表示在流行文化比其他数学结构。 在发现宫 (科学博物馆在巴黎),是一个圆形的房间被称为“PI房间”。 在其墙壁上都刻着707位的π。 数字是大型木制字符连接到穹顶状的天花板。 的数字是基于1853年由英国数学家威廉·尚克斯 ,其中包含一个错误,在第528位的数字开始计算。 错误检测和纠正在1946年于1949年。 [143]


 

e来的u的du / DX 
e来的x,DX 
割线,余弦,正切,正弦 
3.14159 
不可分割的,激进的,每亩DV 
滑尺,计算尺,麻省理工学院! 
科技GOOOOOO!


麻省理工学院助威[144]

在美国的许多学校观察圆周率日 (3月14日是第三个月份,因此日期是3/14)。 [145] π和数字表示经常被自称为“数学怪才 “ 里面的笑话在数学和技术上志同道合的团体。 在麻省理工学院的几个大学生的欢呼声包括“3.14159” [144]在2011年拍卖的北电的有价值的技术专利组合, 谷歌做出了一系列不寻常的特定投标基于对数学和科学的常数,包括π [ 。 146]

支持tau蛋白一种新的数学常数(τ),等于2π,有争论,根据圆的圆周其半径,而不是它的直径比的常数将是更加自然的和将简化许多公式。 [147] [148]建议,如6月庆祝28“头一天”吃“两次馅饼”[149]已经在媒体报道。 τ的使用还没有发现它的方式进入科学文献[150] [151]

卡尔·萨根(Carl Sagan)的小说联系,它表明,宇宙的创造者埋深内的数字为π消息。 [152] π的数字也被纳入“PI”这首歌的歌词专辑空中 凯特·布什 , [153]硬'N Phirm:一首歌曲由[154]

1897年,一个业余数学家试图说服印第安纳州立法机关通过印第安纳州丕条例草案“ ,其中描述了一种方圆 ,包含的文本,假设各种不正确的π值,其中包括320。 该法案由立法菲亚特试图建立科学的真理是臭名昭著。 印第安纳州众议院通过该法案,但参议院拒绝。[155]

医生谁插曲“ 子夜 “中,医生遇到午夜实体接管人体的各种字符。 字符的天空Silvestry时接管模仿医生的言语模式,同步重复, 平方根 π小数点后30位。 [156]这涉及到演员大卫Tennant莱斯利夏普学习能够重复序列。


参见

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数字一览 
 非理性和怀疑无理数
γ 
 ζ(3) 
 √2 
 √3 
 √5 
 φ 
 ρ 
 δ 小号 
 ê 
 π 
 δ



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