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柳州文铮

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勒贝格测度Lebesgue measure股票数学模型对冲基金方法  

2013-01-18 15:45:36|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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平移不变性:勒贝格测度 一 和 A + T 是相同的。

测量理论 ,Lebesgue测度 , 法国数学家亨利·勒贝格的名字命名的,是n维的 欧氏空间的 子集分配措施的标准方式。 对于N = 1,2,或3,它正好与衡量标准的长度 , 面积体积 。 在一般情况下,它也被称为n维体积 , 正卷 ,或仅仅体积 。 [1],它是用来在整个实分析 ,特别是定义Lebesgue积分 。 集可以分配一个勒贝格测度被称为勒贝格可测的措施的勒贝格可测集A的λ(A)表示。

亨利·勒贝格,这项措施在1901年,次年他的描述勒贝格积分。 两人都作为他的博士论文的一部分发表在1902年。 [2]

勒贝格测度通常表示DX,但是这不应该被混淆的体积形式与不同的概念。

定义

给定一个子集 E \子集\ mathbb {R} ,勒贝格外措施 \拉姆达^ *(E) 被定义为


\拉姆达^ *(E)= \文本{INF \左\ {\ sum_ {k = 1} ^ \ infty的L(I_k):{I_k} \ {} E \子集\是一个序列的开区间bigcup_ {k = 1} ^ \ infty的I_k \ \} 。


勒贝格测度的E勒贝格外措施 \λ(E)= \拉姆达^ *(E) 如,对于每一个 A \子集\ mathbb {R} ,

\拉姆达^ *(A)= \拉姆达^ *(A \帽E)+ \拉姆达^ *(A \帽E ^ C) 。


编辑 ]实例
任何闭区间 [A,B]的实数是勒贝格可测,其勒贝格测度是长度 b - 。 的打开的时间间隔 ( 一,二)具有相同的措施,因为两组之间的差异仅由结束点 a 和 b,并具有测度为零 。
任何笛卡尔积的间隔[A,B]和[C,D]是勒贝格可测,其勒贝格测度是(B - A)(D - C),相应的矩形区域。
Lebesgue测度的有理数集线的间隔为0,虽然集是密集的间隔中。
Cantor集不可数集的例子有勒贝格测度为零。
维塔利集套的例子是没有可测量相对于Lebesgue测度。 他们的生存依赖于选择公理 。
编辑 ]属性


平移不变性:勒贝格测度 一 和 A + T 是相同的。

R n 上的Lebesgue测度具有以下属性:


如果A是一个 笛卡尔积时间间隔 I 1×I 2×... ×I n,则A是勒贝格可测, \λ(A)= | I_1 | \ CDOT | I_2 | \ cdots | I_n |。 这里,| I |表示在区间 I的长度。
如果A是一个 不交可数个互不相交的勒贝格可测集, 则 A是勒贝格衡量和λ(A)是平等的措施所涉及的可测集的总和(或无穷级数 )。
如果 A是勒贝格可测,然后是它的补充 。
λ(A)≥0,每勒贝格可测集 A。
如果 A 和 B是勒贝格可测,A是B 的子集,那么λ(A)≤λ(B)。 (A 2,3和4的结果。)
可数的工会和勒贝格可测集的交叉点是勒贝格可测。 (不为2和3的结果,因为一个家庭集下是封闭的补充和不相交可计算工会不需要关闭下可计算工会: \ {\ emptyset,\ {1,2,3,4 \},\ {1,2 \},\ {3,4 \},\ {1,3 \},\ {2,4 \} \} 。)
如果A是一个 开放封闭的子集R n 的 (甚至Borel集 , 度量空间 ), 则 A是勒贝格可测。
如果 A是勒贝格可测集,然后是“约开”和“大约在这个意义上的勒贝格测度关闭”(见勒贝格测度正则性定理)。
勒贝格测度是局部有限的 内正则的 ,所以它是一个氡措施 。
勒贝格测度是严格正的非空开集,所以它的支持是整个R n 的 。
如果 A是勒贝格可测集与λ(A)= 0( 空集 ),然后每个子集也是空集。 更何况 ,每个子集A是可衡量的。
如果 A是勒贝格可测,x是R n 的元素,那么X,A + X = {+ X:A∈A},也是勒贝格可衡量和定义具有相同的措施作为翻译的 。
如果 A是勒贝格可测, \δ> 0 ,然后扩张 一 通过 \三角洲 定义的 \δA = \ {\增量x:X \ A \} 也勒贝格可测的,并有措施 \δ^ {n}的\的lambda \,(A)。
更一般地, 如果 T是一个线性变换 和 A是一个可测量的R n 的子集, 则T(A)是也勒贝格可测,并具有该措施 | \ DET(T)| \,\拉姆达\(A) 。

所有上述可简洁地总结如下:

勒贝格可测集形成一个σ-代数,包含所有产品的时间间隔,λ是唯一的完整的 平移不变性 措施 ,σ-代数与 \λ([0,1] \倍[0,1] \时期\ cdots \倍[0,1])= 1。

勒贝格测度是σ-有限的财产。


编辑 ]空集
主要文章: 空集

R n 的一个子集是一个空集 ,如果为每一个的ε> 0,它可以覆盖可数n个区间,其总体积为至多ε的许多产品。 所有可数集是空集。

如果R n 的一个子集的Hausdorff维数小于n,则是一个空集到 n维Lebesgue测度。 在这里Hausdorff维数是相对于欧氏度量 R n 上 (或任何度量李氏 [ 消歧需要 ]当它)。 另一方面,一组可以具有拓扑维数 小于 n且具有正n维Lebesgue测度。 这方面的一个例子是史密斯Volterra的康托集的拓扑维数0有正面的一维Lebesgue测度。

为了显示一个给定的集合 A是勒贝格可测,通常会设法找到一个“更好”的B 组不同,从一个只有一个空集(在这个意义上, 对称差 (A - B) \杯 (B - A)是空集),然后显示B可以使用可数的开或闭集的并集和交集。


编辑 ]建筑的勒贝格测度

Lebesgue测度的现代化建设是一个应用程序的卡拉特欧多的扩展定理 。 它前进如下。

固定 N∈N。 在 R n是一箱一组的形式

B = \ prod_ {I = 1} ^ N A_I本,b_i] \,,

其中 ,b I≥一个我 ,和产品的符号代表的笛卡尔乘积。 此框的体积的体积(B)中被定义为

\ prod_ {i = 1} ^ N(b_i,A_I)\。

对于任何一个 R n 的子集,我们可以定义它的外测度 λ*(A):

\拉姆达^ *(A)= \ INF \ Bigl \ {\ sum_ {B \ \ mathcal {C}} \ operatorname {卷}(B):\ mathcal {C} \ {是可数的收集箱工会覆盖Bigr} A \ \}。

然后,我们定义一组A是勒贝格可测,如果每R n 的子集S,

\拉姆达^ *(S)= \拉姆达^ *(S \帽A)+ \拉姆达^ *(S  -  A)\。

这些勒贝格可测集形成一个σ-代数 ,和勒贝格测度被定义为λ(A)=λ*(A)任何勒贝格可测集。

集勒贝格可测的存在是一定的集合论公理 , 公理的选择 ,这是许多传统的集合论公理系统的独立的结果。 维塔利遵循的公理, 定理 ,指出存在的子集R的勒贝格可测。 假设选择公理, 非可测集具有许多令人惊讶的性能已被证明,如巴拿赫-塔斯基悖论 。

在1970年, 罗伯特M. Solovay显示,套勒贝格可测的存在是不可证明的策梅罗-Fraenkel集合论的框架内,在没有选择公理(见Solovay模式 )。 [3]


编辑 ]与其他措施

Borel测度与的勒贝格测度集定义它;但是,还有更多的勒贝格可测集比有Borel可测集。 Borel测度是平移不变,但不完整的 。

Haar测度可以定义在任何局部紧是勒贝格测度(R N加法是一个局部紧群)的泛化。

Hausdorff测度是一个概括的勒贝格测度是有用的,用于测量比 n R n 的低维子集,如子流形 ,例如,R 3和分形集的曲面或曲线。 的Hausdorff测度Hausdorff维数的概念混淆。

可以证明, 有没有无限的勒贝格测度的三维模拟 。


编辑 ]参见
勒贝格的密度定理
Duffin谢弗猜想
编辑 ]
^ 术语体积也使用,更严格的是,作为同义词容积3维
^ 亨利·勒贝格(1902)。Intégrale,longueur,空气滤清器 。 巴黎大学。
Solovay,罗伯特M.(1970)。 “A集理论模型中的每一个实数集是勒贝格可测” 数学年刊 。 第二个系列92(1):1-56。 DOI : 10.2307/1970696 。 JSTOR 1970696 。

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