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离散正弦变换Discrete sine transform股票数学模型对冲基金方法  

2012-10-26 12:43:24|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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File:DST-symmetries.svg

数学上 , 离散正弦变换 (DST)是一个傅立叶相关变换离散傅立叶变换 (DFT)的类似方法,但使用一个纯粹的真实的 矩阵 。 它是相当于大约两倍的长度的DFT的虚部的,操作上与奇数的 对称性 (自一个真正的和奇函数的傅里叶变换是想象和奇数),真实的数据,其中,在一些变体中,输入和/或输出数据错开一半的样本。

一个相关的变换是离散余弦变换 (DCT)的,这是真实的和偶数的功能的DFT等效。 请参阅DCT的一般性讨论如何边界条件有关的不同DCT和DST类型的文章。

应用程序

DST测试被广泛采用光谱法,其中DST的不同变体的对应略有不同的奇/偶两端的数组的边界条件求解偏微分方程 。


编辑 ]非正式概览


插图的隐含的偶/奇扩展DST输入数据,N = 9个数据点(红点),最常见的四种类型的DST(I-IV型)。

喜欢的任何相关的傅立叶变换,离散正弦变换(DST)技术反映一个功能或一个信号在一笔血窦方面具有不同的频率振幅 。 喜欢一个DST的离散傅立叶变换 (DFT),在一个有限数量的离散数据点上操作的函数。 之间的DST和的DFT的最明显的区别在于,前者仅使用正弦函数 ,而后者使用的余弦和正弦( 复指数的形式)。 然而,这种明显的差别仅仅是一个后果有更深的区别:DST比的DFT或其他相关的变换意味着不同的边界条件 。

可以被认为是相关的傅立叶变换操作在一个有限的函数,如DFT或DST或傅立叶级数 ,如隐式定义该函数的延伸外域。 也就是说,一旦你写一个函数 F(X) 作为一笔血窦,您可以评估该款项在任何 x ,即使对于 x 如果原来的 F(X) 未指定。 DFT,如傅立叶级数,意味着一个周期延长原有的功能。 一个的DST,像一个正弦变换 ,意味着一个奇怪的扩展原有的功能。

然而,由于DST测试有限的 , 离散的序列,产生了两个问题,并不适用于连续的正弦变换。 首先,一个具有指定的功能是否是偶数还是奇数的域(即最小-n和在下面的定义中,max-n的的边界),分别在左侧和右侧的边界。 其次,一个人到指定的点的功能是偶数还是奇数。 特别是,考虑的顺序(A,B,C)的的三个等距数据点,并说,我们指定了一个奇怪的左边界 。 明智的有两种可能性:要么数据是奇数围绕点之前,在这种情况下,奇数的扩展名是( - C,指定- b, - ,0,B,C),或数据大约是奇数的中间点a和先前的点,在这种情况下,奇数的扩展名是( - C, - B, - ,,乙,丙)

这些选择导致所有标准的变化DST测试和离散余弦变换 (DCTS)。 每个边界是偶数或奇数每边界)(2种选择,可以是对称的数据点或中间点的两个数据点(每2个选择边界),总 2 \ times2 \ times2 \ times2 = 16 的可能性。 这些可能性的一半,那些左边界是奇数,对应的8种类型的DST,另一半则是8种类型的DCT。

这些不同的边界条件,强烈地影响应用程序的变换,并导致不同的DCT类型的唯一有用的属性。 最直接的是,当使用傅立叶相关变换的谱方法解决偏微分方程 ,边界条件直接指定要解决的问题的一部分。


编辑 ]定义

在形式上,离散正弦变换是线性的 ,可逆函数 F:R N - > R N(式中,R表示实数集),或等价的N×N的方阵。 有几种不同的DST略有修改的定义。 实数的N×0,...中,x N-1被变换成N个实数 X 0,...,X N-1,根据下式之一的:


编辑 ]DST-I

* X_k + ...几近收敛,其中{X_k = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_n \罪\ [\压裂{\ PI} {N +1}(N +1)(k +1)\] \四\四K表= 0,\点,N-1个

DST-I矩阵是正交 (最多到比例因子)。

甲的DST-I是一个真正的序列,该序列是奇数第零和中间点,由1/2定标周围的DFT完全等同。 例如,一个DST-I 的 N = 3的实数( 一,二, 三 )是完全等价的DFT的八个实数(0,,B,C,0, - C, - B, - ) (奇对称),??标度为1/2。 (相反,DST类型II-IV涉及半样本移位在等效的DFT。)这是一个原因的正弦函数的分母中的 N +1:等效的DFT具有2(N +1)个点和具有2π/ 2(N +1),在其相位的频率,所以该DST-I具有π/(N +1),在其频率。

因此,将DST-I对应的边界条件:×n个周围例 -1和奇数n = N的周围是奇数;相同的值 X k。


编辑 ]DST-II

* X_k + ...几近收敛,其中{X_k = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_n \罪\ [\压裂{\ PI} {N} \离开(N + \压裂{1} {2} \右)(k +1) \] \四\四K表= 0,\点,N-1

有些学者进一步乘以X N -1长期的1 /√2(见下面的相应的变化,DST-III)。 这使得DST-II矩阵正交 (最多一个比例因子),但与一个真正的多一半移输入DFT打破的直接对应。

DST-II表示的边界条件:×n个是奇数周围?= -1 / 2和奇数n = N的-1 / 2左右; 值 X k是奇数,K = -1左右甚至周围K = N-1。


编辑 ]DST-III

* X_k + ...几近收敛,其中{X_k = \压裂{(-1),k}的{2} X_ {N-1} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-2} x_n \罪\ [\压裂{\ PI} {N} (N +1)\离开(K + \压裂{1} {2} \)\ \四\四K表= 0,\点,N-1

有些学者进一步繁殖的 x N-1√2期(见上文DST-II的相应变化)。 这使得DST-III矩阵正交 (最多一个比例因子),但与一个真正的多一半移输出DFT打破的直接对应。

DST-III表示的边界条件:×n个是奇数例 -1周围,即使是n = N的-1周围; 值 X k是奇数周围K = -1 / 2和奇数K = N-1/2左右。


编辑 ]DST-IV

* X_k + ...几近收敛,其中{X_k = \ sum_ {?= 0} ^ {N-1} x_n \罪\左\压裂{\ PI} {?} \离开(?+ \压裂{1} {2} \右)\左(K表+ \压裂{1} {2} \)\ \四\四K表= 0,\点,N-1

DST-IV矩阵是正交 (最多一个比例因子)。

DST-IV意味着边界条件:X N是奇数周围?= -1 / 2,甚至周围N = N-1/2,类似X k变换 。


编辑 ]DST V-VIII

DST I-IV型是等价的,甚至为了多的DFT。 在原则上,实际上有四个额外类型的离散正弦变换(Martucci,1994),对应于实时奇数的DFT逻辑奇数阶,有N +1 / 2的正弦值参数的分母中的因素。 然而,这些变种似乎要在实践中很少使用。


编辑 ]逆变换

DST-I的逆是DST-I乘以2 /(N +1)。 DST-IV的倒数乘以2 / N DST-IV。 DST-II的倒数DST-III乘以的2 / N(反之亦然)。

喜欢的DFT ,在前面的这些变换的定义归一化因子仅仅是一个惯例,不同的治疗。 例如,一些作者变换相乘 \开方{2 / N} 使逆不要求任何额外的乘法因子。


编辑 ]计算

虽然直接应用这些公式需要O(N 2)操作,它是可以计算的同样的事情,只需要O(N log N)的复杂通过因式分解的计算类似的快速傅立叶变换 (FFT)。 (也可以计算出O(N)的预处理和后处理步骤的FFT相结合的DST测试通过)。

一个DST-II或DST-IV可以从DCT-II或DCT-IV( 离散余弦变换 )计算,分别由其他每个输出的顺序颠倒过来的输入和翻转的标志,反之亦然DST -III从DCT-III。 以这种方式,如下类型的II-IV的DST完全需要相同数量的算术运算(加法和乘法)作为相应的DCT类型。


编辑 ]
SA Martucci,“的对称卷积和离散正弦和 ??余弦变换”,硕士论文。 西格。 加工一〇三八年至一○五一年SP-42,(1994)。
利玛窦弗里戈和史蒂芬G.约翰逊:FFTW, http://www.fftw.org/ 。 一个免费的( GPL )C库,可以在一个或多个维度计算快速DST测试(I-IV型),任意大小的。 M.弗里戈和SG约翰逊“ 的设计与实现FFTW3 ,“ 诉讼的IEEE 93(2),216-231(2005)。
WH;出版社,,SA Teukolsky;,小波Vetterling;弗兰纳里,BP(2007年), “第12.4.1节。正弦变换 , 数字食谱:的艺术科学计算 (第3版),纽约:剑桥大学出版社, ISBN 978-0-521-88068-8

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