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柳州文铮

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黎曼球面Riemann sphere对冲基金数学模型方法  

2012-09-24 12:24:21|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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File:Riemann Sphere.jpg

一个几何球体上的两个方位线之间的区域。 
图片来源:KARTHIK Narayanaswami

The region between two loxodromeson a geometric sphere.
Image credit: Karthik Narayanaswami



黎曼球可以看作复数平面上缠一个球体(通过某种形式的立体投影 -详细信息见下文)。

数学中 , 黎曼球 ,19世纪的数学家黎曼的名字命名的,是一个模型的扩展复杂的平面 , 复平面上加上一个无穷远点 。 这个扩展的平面表示扩展的复杂数字 ,即, 复数加一个值∞为无穷大 。 随着黎曼模型,点“∞”是附近非常大的数字,公正的一点是“0”附近寥寥可数。

扩展复数复杂的分析是有用的,因为它们允许 ,在某些情况下,为的方式,使表现形式,如1/0 =∞ 乖巧 。 例如,在复平面上的任何有理函数可以延长黎曼球上的一个连续函数 ,与极点的有理函数映射到无限远。 更一般地说,任何亚纯函数可以想到作为一个连续函数,其值域是Riemann球形。

几何的黎曼领域是一个黎曼曲面的典型例子,是一个最简单的复流形 。 在射影几何中 ,可以想到的球体作为复杂的投影线 P1(C)所示,所有的C 2中的复杂的线条的 射影空间 。 球体与任何紧凑黎曼面,也可能被视为一个射影代数曲线 ,使它代数几何中的一个基本例子。 调查也发现依赖于分析和几何形状,如量子力学物理学的其他分支学科的实用程序。

扩展复数

扩展复数由的复数C一起∞。 扩展复数可写为 C∪{∞},并且往往是通过添加一些装饰,如字母 C表示

\帽子{\ mathbf {C}},\四\划线{\ mathbf {C}},\四\ {或} \四\ mathbf {C} _ \ infty的。

几何上,扩展的复数的组被称为为黎曼球体 (或扩展的复平面 )。


编辑 ]算术运算

复数可以延长定义为 z∈C,

Z + \ infty的= \ infty的

任何复数 z,并且可以由乘法

Z \ CDOT \ infty的= \ infty的

所有非零复数 z,与∞?∞=∞。 需要注意的是∞+∞,∞ - ∞,0?∞未定义。 不同于复数,复数扩展不形成一个字段 ,因为∞不具有乘法逆元素 。 然而,这是习惯定义分裂C∪{∞}

Z / 0 = \ infty的\四\ \四Z / \ infty的{和} = 0

所有非零复数 z,∞/ 0 =∞,0 /∞= 0。


编辑 ]有理函数

任何有理函数的 函数f(z)= G(Z)次/ h(z)可以被扩展到一个连续函数的黎曼球面上。 具体而言,如果 Z_0 是一个复杂的数量,使得分母 H(Z_0) 是零,但分子 G(Z_0) 为非零,则 F(Z_0) 可以被定义为∞。 (如果两者的分子和分母是零,则它们共享一个共同的因素,并且,该部分应首先被减少到最低的条件。)此外时,f(∞)可以被定义为函数f(z)的限制 , 当 z→∞ ,这可能是有限的或无限的。

例如,给定的功能

函数f(z)= \压裂{6Z + 1} {2Z  -  10}

我们可以定义 f(5)=∞由于分母为零在 z = 5,而f(∞)= 3,因为函数f(z)→3作为?→∞。 使用这些定义,F本身成为一个连续函数的黎曼球。

当看作是一个复杂的多方面的,合理的功能,其实是全纯函数的黎曼球本身。


编辑 ]作为一个复杂的多方面的

作为一个一维的复杂的歧管,黎曼球可以由两个图表进行说明,都与域等于复数平面 C。 让ζξ是复杂的对 C的坐标。 确定的非零复数ζ的非零复数ξ使用的过渡地图

\ {对齐} \ zeta电= 1 / \十一\ \ [8PT] \ XI = 1 / \泽塔。 \ {对齐}

由于过渡的地图是全纯的 ,他们定义了一个复杂的多方面的,所谓的黎曼球 。

直观地说,过渡地图显示如何胶水两架飞机一起,形成黎曼球。 这些飞机都粘在一个“由内而外”的方式,让他们重叠几乎无处不在,每架飞机只能提供一点(它的起源)从另一架飞机失踪。 换言之,(几乎)黎曼球的每一个点在同时具有ζ值和ξ值,并且这两个值之间的关系由ζ= 1 /ξ。 的地步,ξ= 0然后应ζ-值“1/0”,在这个意义上,起源的ξ-图表所扮演的角色的ζ-图表中的“∞”。 对称的起源ζ图中所扮演的角色,∞ξ图。

在拓扑上 ,所得到的空间是一个平面成球体的一点紧 。 然而,黎曼球面不仅是一个拓扑领域。 它是一个球体与一个定义良好的结构复杂 [ 消歧需要 ],因此,在球体上的每一个点周围有可以biholomorphically确定与 C是一个邻里。

另一方面, 均匀化的定理 ,中央在黎曼曲面的分类,国家,只有简单的一维复流形是复平面上, 双曲平面 ,与Riemann球。 其中,黎曼球是唯一的一个,这是一个封闭的表面 (紧凑型表面无边界 )。 因此,二维球面承认一个独特的复杂的结构,把它变成一个一维复流形。


编辑 ]复射影线

黎曼球面,也可以被定义为复杂的投影线 。 这是的C 2的子集组成的所有对(α,β)的复数,不同时为零, 等价关系

(\阿尔法\β)=(\拉姆达\阿尔法\拉姆达\试用版)

所有非零复数λ。 复平面 C,与坐标ζ,可以映射到复射影线由

(\α,\β)=(\泽塔,1)。

C的坐标ξ的另一个副本可以被映射到由

(\阿尔法\β)=(1,\十一)。

这两个复杂的图表涵盖了投影线。 对于非零ξ鉴定

(如图1所示,\ⅹⅰ)=(1 / \十一,1)=(\泽塔,1)

表明过渡映射ζ= 1 /ξ和ξ= 1 /ζ,如上。

这种治疗方法的黎曼球最容易射影几何连接。 例如,任何行(或平滑的圆锥)在复杂的投影面是双全纯的复杂的投影线。 这也方便了研究领域的同构 ,在本文的后面。


编辑 ]作为一个球体


赤平投影到一个点α的黎曼球的复数 a

Riemann球形可以作为单位球面上的可视化X 2 + Y 2 + Z 2 = 1的三维实空间 R 3。 为此,考虑从单位球面减去点(0,0,1)的立体图的投影到平面上,z = 0时,我们确定与复平面上由ζ= + iy的。 在笛卡尔坐标系 (的x,y,z)的 ,在球体上的球面坐标 (φ,θ)(与φ的天顶角和θ的方位角),突起是

\泽塔= \压裂{X + IY} {1  -  Z} = \婴儿床(\ tfrac {1} {2} \ PHI)\,E ^ {I \西塔}。

同样,从(0,0,-1)的立体图投影到平面 z = 0时,与复平面上的另一个副本为ξ= X - iy的标识,被写入

\十一\压裂{X  -  IY} {1 + z} = \棕褐色(\ tfrac {1} {2} \ PHI)\ E ^ {-I \西塔}。

为了掩盖的单位球,需要两个立体的预测:第一个将覆盖整个领域,除了点(0,0,1)和第二点(0,0,-1)除外。 因此,一个需要两个复杂的平面,一个为每个突起,可以直观地视为粘在z = 0的后端到背面。 请注意,两个确定复杂的平面以不同的方式与在z = 0 平面 。 一种取向反转是必要的,以保持一致的取向,在球体上,并在特定的复合共轭导致过渡映射到全纯。

ζ-坐标和ξ坐标的过渡之间的映射是通过以下方式获得构成一个突起与其他逆。 它们变成是ζ= 1 /ξ和ξ= 1 /ζ,如上面所述。因此,单位领域是微分同胚的黎曼球。

在此微分同胚,在单位圆中的ζ图,ξ图的单位圆,赤道单位球面的确定。 单位圆|ζ| <1是确定的南半球Z <0,当本机磁盘|ξ| <1的识别与北半球Z> 0。


编辑 ]公制

一个黎曼面不配备任何特定的黎曼度量 。 然而,复杂的结构,唯一确定的黎曼面共形等价度量。 (两个度量所述是共形等价的,如果它们的差异通过一个正的平滑函数的乘法。)相反,一个定向的表面上的任何度量唯一地确定一个复杂的结构,这取决于对度量最多只能适形等价。 取向的表面上的复杂的结构,因此与该表面上的度量的保角类在一个一一对应。

在一个给定的保形类,可以使用形对称性找到一个方便性能指标代表。 特别是,总是有一个在任何给定的共形类的恒定曲率的完备度量。

在黎曼球的情况下, Gauss-Bonnet定理意味着,恒定曲率度量必须有积极的曲率 K表 。 它如下度量必须是等距的球体半径 1 / \开方K表 通过立体投影R 3。 在黎曼球面的ζ-图表,K = 1时的度量与由下式给出

DS ^ 2 = \(\压裂{2} {1 + | \泽塔| ^ 2} \右)^ 2 \,| D \泽塔| ^ 2 = \压裂{4} {\离开(1 + \ zeta电\圆钢\ zeta电\)^ 2} \ D \ zeta电\,D \酒吧\泽塔。

在实际坐标ζ= u + iv的,计算公式为

DS ^ 2 = \压裂{4} {\离开(1 + U ^ 2 + V ^ 2 \)^ 2} \离开(DU ^ 2 + DV ^ 2 \右)。

最多一个常数因子,这个衡量标准与标准的富比尼研究度量复射影空间(其中的黎曼球就是一个例子)。

相反,,让S表示球体(作为一个抽象的平稳拓扑流形 )。 通过统一化定理,存在一个独特的结构复杂, 在 S。 任何度量S 上共形的圆形度量。 所有这些指标确定相同的形几何。 因此,圆的度量是不是内在的黎曼球,因为“圆”是一个不变的形几何。 黎曼球仅仅是一个保形歧管 ,而不是一个黎曼流形 。 但是,如果人都需要做黎曼几何上的黎曼领域中,圆度量值是一个自然的选择。


编辑 ]同构


莫比乌斯变换作用的领域,在飞机上立体投影
主要文章: M?bius变换

任何数学对象的研究,借助于其基团的同构的理解,这意味着从对象到其自身的地图,保存的基本结构的对象。 在黎曼球的情况下,同构是一个可逆的双全纯映射到自身的黎曼球。 事实证明,只有这样的地图是莫比乌斯变换 。 这些函数的形式

(\泽塔)= \压裂{\ zeta电+ B} {C \ zeta电+ D},

其中的A,B,c和d是复数,使得 一个D  -  B C \ NEQ 0 。 莫比乌斯变换的例子包括扩张 [ 消歧需要 , 旋转 , 翻译 ,和复杂的反转。 事实上,任何M?bius变换可以被写入作为这些的组合物。

莫比乌斯变换盈利看作是复杂的投影线的转换。 在射影坐标,变换f的可写入

α,F(\ \β)=(A \α+ B \β,C \α+ D \β)= \开始的{pmatrix} \ ALPHA&\测试\的{pmatrix} \ BEGIN {pmatrix}的一个&C \ \ B&D \ {pmatrix}。

莫比乌斯变换可以描述为2×2复杂的矩阵与非零的决定因素 ;两个矩阵得到相同的Mobius变换,当且仅当它们相差一个非零的因素。 因此莫比乌斯变换射影线性变换 PGL(2,C)完全相符。

如果赋予黎曼球面与富比尼-研究公制 ,不是所有的莫比乌斯变换是等距同构,例如,伸缩和平移都没有。 等距形成PGL(2,C)中,即电源模块(2)的一个适当的子群。 此子群是同构的旋转组,SO(3) ,它是在 R 3(其中,限制为球体时,成为的等距球体)的组中的单位球面的对称性的影响。


编辑 ]应用程序

在复杂的分析,亚纯函数在复平面上(或任何黎曼曲面上,对这一问题)是一种比F / G的两个全纯函数 f 和 g。 作为复杂的数字地图,它是不确定的地方g是零。 但是,它会引起一个全纯映射(F,G)复射影线,是良好定义的, 其中 g = 0。 这种结构有助于在全纯与亚纯函数的研究。 例如,在一个紧凑的黎曼面有没有非定常全纯映射到复数,但全纯映射到复射影线丰富。

黎曼球在物理学有许多用途。 在量子力学中,复杂的投影线的点光子 极化状态, 大量 粒子的自旋为1/2的自旋状态,和2态粒子的一般的自然价值。[ 为什么? ]黎曼球被建议作为一个相对论 天球模型。 在弦理论中 ,的弦的worldsheets是黎曼曲面,和黎曼球,是最简单的黎曼面,起到了重要的作用。 同样重要的是在磁扭线理论 。


编辑 ]参见
形几何
跨比
霍普夫包
Dessin的儿童
定向无穷
编辑 ]



本文包含一个列表的引用 ,相关阅读或外部链接 ,但它的来源仍不清楚,因为它缺乏内联的参考文献 , 请改善本文通过引入更精确的参考文献。(2010 年8月)


本文列举了它的来源 ,但不提供页面引用 您可以通过引入更精确的参考文献, 有助于改善它 。(2010 年9月)

布朗,詹姆斯和丘吉尔,鲁埃尔(1989年), 复变函数与应用 。 纽约:麦格劳-希尔。 ISBN 0-07-010905-2 。
格里菲思,菲利普·哈里斯,约瑟夫(1978年)。 代数几何原理 。 约翰Wiley&Sons出版, ISBN 0-471-32792-1 。
彭罗斯,罗杰 (2005)。 现实之路 。 纽约:Knopf出版社, ISBN 0-679-45443-8 。
鲁丁,瓦尔特(1987年)。 真实和复杂的分析 。 纽约:麦格劳-希尔。 ISBN 0-07-100276-6 。
编辑 ]外部链接
Hazewinkel,米歇尔,编辑。 (2001年), “黎曼球” , 百科全书
莫比斯转换揭晓 ,由: 阿诺德·道格拉斯N.和乔纳森Rogness(两所大学的教授明尼苏达州的一个视频解释和说明莫比乌斯变换,从一个球体的立体投影)

 

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