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柳州文铮

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对称群Symmetry group  

2012-07-02 15:12:19|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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File:Tetrahedral group 2.svg

一个四面体可以放置在12个不同的位置, 旋转单独。 这些都说明了以上的周期图表格式,以及180°的边缘(蓝色箭头)和120°顶点(红色箭头) , 置位四面体通过岗位轮换。 12旋转形成旋转的身影组(对称)。

抽象代数 , 对称群对象( 图像 , 信号等)是所有等距下的对象是不变的操作与组成的 小组 。 这是一个等距组有关空间。 如果不是另有说明,本文认为对称欧几里德几何 ,但也可以在更广泛的背景研究的概念,见下文。

简介

“对象”可能是几何数字,图像,图案,如墙纸图案 。 定义可以作出更准确的通过指定图像或图案,例如,函数值在一组颜色的位置意味着什么。 有形物体的对称性,可能还需要考虑到的物理组成。 组等距的空间诱导组动作对象。

对称组有时也被称为全对称群 ,以强调它包括方向扭转等距(如反射, 滑行反射不当旋转 )下图是不变的。 定位保持等距(即平移,旋转,这些成分)离开不变的数字被称为其应有的对称群 。 对象的适当的对称群是等于其全对称群当且仅当对象是手性 (因而是不可逆的方向等距下,它是不变的)。

任何对称群的元素有一个共同的固定点 ,这是真正的所有有限对称群,也为界人物的对称群,可以作为分组正交群O(N)选择的起源是一个固定的代表点。 适当的对称群是群的特殊正交群SO(N),然后,因此也被称为旋转的数字组 。

离散对称群有三种类型:(1)有限点组 ,其中包括唯一的旋转,反射,反转和rotoinversion -他们其实只是有限群O(N),(2)无限晶格组 ,其中包括只翻译,(3)无限的空间群结合前两类型的元素,也可能包括诸如额外的转换螺旋轴滑行反射 。 也有连续的对称群,其中包含的任意小角度的旋转或翻译的任意小的距离。 球体对称性的群O(3)是一个例子,一般这种连续对称组作为研究李群 。 用欧几里德组群的分类对应的对称群分类。

两个几何数字被认为是相同的对称型的,如果他们的对称群的共轭子群欧几里德群 E(N)(R n中的等距组),其中两个亚组G 组H 1,H 2 共轭 ,如果存在G∈?使得 H 1 = G -1的H2 克 。 例如:


有两个3D数字镜像对称,但与尊重不同的镜子飞机。
有两个3D数字3倍的旋转对称性,但与尊重不同的轴。
两个2D模式具有平移对称性,每一个方向,两个翻译向量的长度相同,但不同的方向。

考虑等距组时,可能会限制自己的所有点等距下的图像集拓扑封闭 。 这还不包括例如1D有理数翻译组。 与此对称组是一个“图”绘制和随意罚款的细节齐,而真正均匀。


编辑 ]一维

1D中的等距的所有点等距下的图像集拓扑封闭 :


琐碎的C 组 1
他们点的反射所产生的两个元素组;与C 2的同构
翻译产生无限的离散群体;他们?同构
翻译和在一个点反射所产生的无限离散群体;他们是同构的,DIH 的Z(z)也表示由D∞(这是一个广义二面角组 , 直积 Z和C 2)。
所有翻译(R同构 )所产生的组,这个组不能是一个“模式”的对称群:这将是均匀的,因此也可以得到体现 ??。 然而,一个统一的一维向量场,这个对称群。
组所有翻译和反射点,它们是同构的广义二面角组 (R)的研发 ,DIH。

也看到, 在一维对称群 。


编辑 ]两个维度

共轭的2维空间中的离散点组有以下类:


循环群 C 4,C 3,C 2,C 1 ... C N关于一个固定点旋转角度360°/ N的倍数
的二面角组 D 1,D 2, D 3 , D 4 ,... 其中 D N(2 N顺序) 在 n轴的反射,通过固定点通过在C N一起旋转。

C 1是微不足道组含有唯一的身份操作时发生的数字有没有对称,例如字母 F,C 2是对称群的信?,3 :C 4的一个triskelion 纳粹 ,5 C 6等 类似纳粹一样的数字的对称群是五,六等武器,而不是四个。

D 1是2元组的身份运行,并反映一个单一的,它发生时,这个数字只有单一轴两侧对称,例如,信。D 2,这是同构的克莱因四组 ,非等边的矩形对称组和D第3,丁4等。 正多边形的对称群。

在这些情况下,每个实际的对称群有两个自由度的旋转中心,和在二面角组,一个镜子的位置的情况下。

一个固定点,所有点等距下的图像集拓扑封闭在2D等距组是:


特殊正交群 SO(2)组成的一个固定点的所有旋转,它也被称为圈组 S1,乘组复数绝对值 1。 它是一个圆圈适当对称组和C,N的连续等效。 有没有为全对称群的圈组数字,但矢量场,可以申请(见下面的3D的情况下)。
正交O组(2)组成的一个固定点,并在任何通过该固定点轴反射的所有旋转。 这是一个圆的对称群。 它也被称为DIH(1),因为它是广义二面角组的S 1。

对于非限制数字,可以包含额外的等距组翻译;封闭的有:


楣组的
17 壁纸
每个一维对称群的组合,所有在该组在一个方向的对称性,并在垂直方向的所有翻译组
同上同在一条线上的第一个方向思考
编辑 ]三个维度
也看到: 在三维空间中的点组

共轭一套三维点群由7个无穷级数,和7个独立的。 在结晶,他们被限制的晶格离散翻译对称性的兼容。 这种晶体的限制,一般在32个晶体点群(27 7无穷级数,和其他7 5)点群的结果无限家庭。

连续对称群的一个固定点,包括:


无轴对称平面垂直的圆柱对称,这适用于例如常为
圆柱形对称与对称平面垂直的轴
球对称

对象和标量场的圆柱形对称意味着垂直平面的反射。 然而, 向量场 ,没有一些轴圆柱坐标系中, \ mathbf {} = A_ \ RHO \ boldsymbol {\帽子\ RHO} A_ \披\ boldsymbol {\帽子\披} + A_z \ boldsymbol {\帽子Z} 有圆柱形对称轴, 当且仅当 A_ \ RHO,A_ \披 和 a_z 具有对称性,即,他们不依赖于φ。 此外,还有的是反射对称,当且仅当 A_ \φ= 0 。

为球对称的,有没有这样的区分,这意味着飞机的反射。

没有一个固定点连续对称群,包括那些与螺旋轴,如一个无限的, 螺旋 。 也看到欧几里德组群 。


编辑 ]一般的对称群
另见: 

在更广泛的背景下, 对称群可能转化组 ,或任何一种组。 一旦我们知道我们关心的是什么样的数学结构 ,我们应该能够确定维护结构的映射 。 相反,指定的对称性,可以定义的结构,或至少澄清什么,我们由一个意思不变 ,几何的语言来讨论,这是在寻找一个方式埃尔兰根程序 。

例如,某些型号的构组有限几何是不是在通常意义上的“对称群”,虽然他们保持对称性。 他们这样做保护点设置家庭 ,而不是点集(或“对象”)本身。

像上面,空间构组诱导组动作对象。

对于一个给定在一个给定的几何空间的几何图,考虑以下等价关系:两个同构的空间是等价的, 如果两个图像的数字是相同的(这里的“相同的”不意味着类似如“到平移和旋转“,但它意味着”如出一辙“)。 然后,身份的等价类是对称群的身影,和每一个等价类对应一个图的同构版本。

是有一双每一个等价类之间的双射:倒数第一等价类的代表,与第二次代表组成。

在一个整体空间有限构群的情况下,其顺序是图的同构版本的数字乘以对称群的顺序。

例子:


欧几里德平面的等距,是一个长方形的身影:有无限多的等价类,每包含4个等距。
空间与欧 ??氏度量是一个立方体,数字包括对面孔的颜色或图案的空间大小相同的立方体,空间构48等距,这个数字是一个立方体,其中一个脸上有不同的颜色;图中有8等距对称群,有6 8等距等价类,图的同构6版本。

拉格朗日定理(群论)及其证明进行比较。


编辑 ]参见
结晶学
晶系
欧氏平面等距
在欧氏空间的等距群的不动点
集团的行动
置换群
点群
空间群
对称群
对称性
编辑 ]进一步阅读
烧伤,G.;格雷泽,AM(1990) 空间科学家和工程师 (第二版)。 组 。 波士顿:科学出版社, 书号 0-12-145761-3 。
克莱格W(1998年)。 晶体结构的测定(牛津大学化学底漆)。 牛津大学:牛津大学出版社书号 0-19-855901-1 。
奥基夫,研究;海德,BG(1996年) 的晶体结构;一,模式和对称性 。 华盛顿特区:美国矿物学会, 专着系列 国际标准书号 0-939950-40-5 。
米勒,,威拉德小(1972年)。 对称群及其应用 。 纽约: 589081 OCLC的学术出版社 。, 检索2009-09-28。
编辑 ]外部链接
weisstein,埃里克W. “ 对称集团 “从MathWorld的的 。
weisstein,埃里克W. “ 四面体集团 “从MathWorld的的 。
32晶体点群概述 -形成7无穷级数的第一部分(除了从跳绳N = 5)和7个独立的三维点组5

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