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柳州文铮

CANTOR SET&ART

 
 
 

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梯度Gradient股票数学模型对冲基金方法  

2012-12-20 10:03:48|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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File:Gradient99.png

File:Gradient of a Function.tif

向量微积分中 ,一个标量场的梯度是一个矢量场 ,它指向的方向的最大速率的标量场的增加,其幅度是增长速度。 简单而言,在空间的任何数量的变化可以表示(例如,以图形方式)由一个斜坡。 的梯度表示的斜坡的陡度和方向。

欧氏空间有值在另一个欧氏空间的梯度功能的泛化是雅可比 。 一个Banach空间到另一个函数的Fréchet导数的进一步推广。



另外,在上述的两个图像中,标量场是黑色和白色,黑色代表较高的值,并且其相应的梯度表示的蓝色箭头。

诠释


2-d函数的梯度的 F(X,Y)= XE ^ {-x ^ 2  -  Y ^ 2} 在伪情节的功能被描绘为蓝色箭头

考虑的房间,其中温度( 的x,y,z)的每个点处的温度为 T( 的x,y,z)的一个标量场,T,由下式给出。 (我们将假设温度不随时间而改变。)在房间里的每一个点,在这一点上会显示渐变的 T的温度上升最迅速的方向。 梯度的大小将决定这个方向温度上升的速度有多快。

考虑在一个点海平面以上的高度( 的x,y)是 H( 的x,y)的表面。H在一个点的梯度是在最陡的斜率品位在该点的方向的矢量指向。 在该点的斜率的陡度的梯度向量的幅度由下式给出。

的梯度也可以被用来测量标量场如何在其它方向上的变化,而 ??不是只是的最大变化的方向,通过以点 ??积 。 假设坡度最陡的一座小山上,为40%。 如果直接上山道路,坡度最陡的道路上也将达到40%。 相反,如果道路周围的山上,在一个角度,然后将有一个浅坡。 例如,如果道路的上坡方向,投射到水平平面之间的角度是60°,然后沿道路最陡斜率将是20%,这是40%的时间为60°的余弦 。

这种观察可以数学陈述如下。 如果山高度函数H是可微的 ,则点缀用的单元载体给出梯度的 H方向的矢量的斜率的小山。 更确切地说,当H是可微的,梯度的 H与一个给定的单位矢量的点积等于该单位矢量的方向的方向导数 的 H。


编辑 ]定义


的梯度的函数f( 的x,y)= -上(cos 2×+余弦2 y)的2所示的底部平面上的投影矢量场

的梯度(或梯度矢量场)的一个标量函数f(×3×2×1,...,×n)个表示?f或 \向量{\ nabla} F 其中?( nabla象征 )表示向量微分算子 , 德尔 。 的符号“毕业(六)”也是常用的梯度。 f 的梯度被定义为独特的矢量场点积 ,在每个点处的任何矢量 v x是沿 V 方向导数 的 f。 即,

(\ nabla F(X))\ CDOT \ mathbf {V} = D_ {:\ mathbf V} F(X)。

在直角坐标系统中,梯度是其组件的矢量场的偏导数 为 f:

\ nabla F = \压裂{\部分F} {\部分X_1} \ mathbf {E} _1 + \ cdots + \压裂{\部分} {\部分x_n} \ mathbf {E} _n

其中的 e i是指向坐标方向的正交的单位向量。 当一个函数也依赖于一个参数,如时间,梯度经常简单地是指其只空间导数的向量。

在三维笛卡尔坐标系中 ,这由下式给出

\压裂{\部分F} {\局部X} \ mathbf {} + \压裂{\部分F} {\部分?} \ mathbf {J} + \压裂{\部分F} {\局部Z} \ mathbf {K}

其中i,j,k是标准的 单位向量 。 例如,梯度的函数

F(X,Y,Z)= \ 2X +3?^ 2  -  \罪(Z)

是:

\ nabla F = \压裂{\部分F} {\局部X} \ mathbf {} + \压裂{\部分F} {\部分?} \ mathbf {J} + \压裂{\部分F} {\部分Z} \ mathbf {K} = 2 \ mathbf {} + 6Y \ mathbf {J}  -  \ COS(Z)\ mathbf {k}的。

在一些应用中,它是习惯来表示在直角坐标系统中的梯度作为其组成部分的行向量列向量 。


编辑 ]梯度与导数或微分
编辑 ]线性近似函数

在任何特定的点的梯度的函数 f从欧几里德空间 ???×0??最好的线性近似的特征在 x 0 到 f。 的近似是如下:

F(X)\约(X_0)+(\ nabla F)_ {X_0} \ CDOT(X-X_0)

对于 x接近为 x 0,其中 (\ nabla F)_ {X_0} 在 x 0,是梯度计算的 f和圆点表示的点积 ??。 这个方程是等效的第一两个术语在多变量f 的 泰勒级数展开在 x 0。


编辑 ]差分或(外)衍生物

一个函数的最佳线性近似

电话号码:\ mathbb {R} ^ n \到\ mathbb {R}

在点x?n是一个线性映射从???通常表示由D F(x)的x或Df的和称为( 总数 ) 衍生物 f在 x。 因此,相关的梯度的差由下式

(\ nabla F)_x \ CDOT V = \ mathrm?F_X(V)

对任意v∈?N。 函数d f,这被称为映射x到D F x, f 的差分或外部衍生物 ,是一个差的1 -形式的一个例子。

如果?n被看作是空间( 长度为n)列向量(实数),然后就可以把D F的行向量

\ mathrm {D} F = \左(\压裂{\部分F} {\部分X_1},\点,\压裂{\部分} {\部分x_n} \右)

使d F X(ⅴ)由下式给出矩阵乘法。 然后,该梯度是相应的列矢量,即,

\ nabla F = \ mathrm {D} F ^ \ mathsf {T} 。


编辑 ]作为衍生工具的梯度

设 U是R n 中的开集 。 如果函数f:U→R是可微的 ,则f的微分(导数)的导数 为 f。 因此,?f是一个函数从 U到R的空间

\ lim_ {H \ 0} \压裂{\ | F(X + H)-F(X) -  \ nabla F(X)\ CDOT?\ |} {\ H \ |} = 0

其中,?的点积。

作为结果,通常性质的衍生保持用于梯度:

线性

梯度是线性的,在这个意义上,如果f和 g是两个实值函数可微的点a∈R n和α和β是两个常数,则α 犳 +β 克是可微的,在一个 ,并且

\ nabla \(\阿尔法F + \公测克\右)(A)= \阿尔法\ nabla(A)+ \测试\ nabla G(A)。
产品规则

如果 f 和 g是实值函数可微的一个点a∈R N,则该产品的规则声称该产品(FG)(X)= F(X)G(X)的函数f和 g是微a,和

\ nabla(fg)重(α)=()\ nabla克(一)+克(一)\ nabla(一)。
链规则

假设f:A→R是实值函数,定义甲 R n 的一个子集上,在点 a和f 是可微。 有两种形式的链规则适用的梯度。 首先,假设该函数g是一个参数曲线 ,也就是说,一个函数g:I→R n中映射到R n中的 子集I?R。 如果 g是C∈我这样的,在一个点{{{1}}},然后微

(F \中国保监会G)(C)= \ nabla(一)\ CDOT G'(C),

,?是复合算子 。 更一般地,如果相反, 我?R K,则下式成立:

\ nabla(F \中国保监会G)(C)=(DG(C))^ \ mathsf {T}(\ nabla F(A))

(DG)T表示转置雅可比矩阵 。

对于链式法则的第二种形式中,假设使得h:I→R上的子集I 的 R是实值函数,和h 是可微的( 一 )在点f∈I。 然后

\ nabla(高\保监会六)()= h'的(六(一))\ nabla(一)。


编辑 ]进一步的性能及应用
编辑 ]层次的组
另请参阅: 水平集的梯度#层次的组与

如果 f是可微的,则点积 (?f)×?v的一个点 x处的梯度向量 v给出了在 x 方向导数 f 的方向 v。 因此,在这种情况下,f的梯度是f 的 水平集 正交 。 例如,在三维空间中的一个水平面上的形式由等式定义的F(,,z)的= 角 的 F的梯度,然后垂直于该表面。

更一般地说,任何嵌入在黎曼流形的超曲面可以切出由等式的形式F(P)= 0,使得d F是无处为零。 的 F的梯度,然后正常的超曲面。

让我们考虑一个函数 f在点P,如果我们通过这个点P的函数具有相同的价值,在这表面上所有的点绘制表面,那么这个表面被称为“水平的表面上。


编辑 ]保守矢量场和梯度定理
主要文章: 梯度定理

一个函数的梯度被称为梯度场。 A(连续)梯度场始终是一个保守的矢量场,其沿任何路径的线积分只依赖于路径的端点,并且可以评估的梯度定理 (微积分基本定理的线积分)。相反,一个(连续)保守的矢量场始终是一个函数的梯度。


编辑 ]黎曼流形

对于任何一个黎曼流形 (M,G)上的光滑函数f ,f 的梯度矢量场 ?f的任何向量场 X,

G(\ nabla F,X)= \ partial_X楼\ qquad \的文字中{即,} \四g_x((\ nabla F)_x,X_X)=(\ partial_X F)(X)

其中g×()表示切线向量的内积的度量 g定义的在 x和? 所述 (有时表示为X(F))的函数,它的方向导数中f 的任意点x∈M方向 X,评价在 x。 换句话说,在从一个开放的 M的子集的一个开放R n 的子集的坐标图 φ,(? 所述 f)项(x)的由下式给出:

\ sum_ {J = 1} ^ n的X ^ {J}(\ varphi(X))\压裂{\部分} {\部分X_ {J}}(F \中国保监会\ varphi ^ {-1})\大| _ {\ varphi(X)},

其中 X j表示第 j个分量,该坐标图中的 X。

所以,当地的梯度形式采取以下形式:

\ nabla F = G ^ {IK} \压裂{\部分F} {\局部X ^ {K}} \压裂{\部分} {\局部X ^ {}}。

一般化的情况下M = R n中 ,一个函数的梯度相关的,因为其外部衍生物

(\ partial_X F)(X)= df_x(X_X)\。

更精确地,梯度?f是相关的矢量场的差动1 -形式D F使用的音乐同构

\急速= \尖锐^ G \结肠T ^ * M \ TM

(称为“犀利”)所定义的度量 g。 外部衍生物和R n 上的一个函数的梯度之间的关系,这是一种特殊情况,该指标是由点积给出的平坦度量。


编辑 ]圆柱和球面坐标
主要文章: 德尔在圆柱和球面坐标

圆柱坐标系中 ,梯度( Schey 1992年 ,第139-142页):

\ nabla f(\ RHO,\披,?)= \压裂{\部分f} {\部分\卢} \ mathbf {E} _ \ RHO + \压裂{1} {\卢} \压裂{\部分f} {\部分\披} \ mathbf {E} _ \披+ \压裂{\部分F} {\局部Z} \ mathbf {E} _z

其中φ是方位角,z为轴向坐标,和Eρ,电子φ和E Z指向沿着坐标方向的单位矢量。

球形坐标 ( Schey 1992年 ,第139-142页):

\ nabla f(直径\ THETA,\披)= \压裂{\部分f} {\部分直径} \ mathbf {E} _r + \压裂{1} {R} \压裂{\部分f} {\部分\ THETA} \ mathbf {E} _ \θ+ \压裂{1} {R \罪\ THETA} \压裂{\部分F} {\部分\披} \ mathbf {E} _ \披

其中φ是方位角和天顶角 θ的角度。

对于其他正交坐标系中的梯度, 正交坐标系(在三维空间中的微分算子) 。


编辑 ]一个向量的梯度

在直角坐标系中,梯度的一个向量F =(f 1的 ,f 2的 ,f 3的 )被定义为

\ nabla \ mathbf {F} = \压裂{\部分{{F} _ {}}} {\部分{{X} _ {J}}} {{\ mathbf {E}} _ {}} { {\ mathbf {E}} _ {J}}

雅可比矩阵

\压裂{\部分({{F} _ {1}},{{F} _ {2}},{{F} _ {3}})} {\部分({{X} _ {1}} {{X} _ {2}},{{X} _ {3}})} 。

在曲线坐标系下的梯度涉及的Christoffel符号 。


编辑 ]参见
卷曲
德尔
差异
梯度定理
倾斜梯度
编辑 ]
科恩,特里萨M.;光辉,Granino亚瑟(2000年), 数学手册“的科学家和工程师的定义,定理和公式,参考和评论 ,纽约:多佛出版社,第157-160页, ISBN 0-486-41147 -8 , OCLC 43864234 。
Schey,HM(1992), 分区,研究生,卷翘,和所有的 (第二版),WW Norton出版社, ISBN 0-393-96251-2 , OCLC 25048561 。
Dubrovin,BA,福缅科,SP诺维科夫(1991), 现代几何学-方法与应用:第一部分:几何体的表面,变换群和字段(在数学方面的毕业生正文)(第二版),施普林格,第14日至17日, ISBN 978-0-387-97663-1
编辑 ]外部链接

维基百科,自由的百科全书查一查梯度 。

汗学院 渐变教训1
,LP Kuptsov(2001年), “渐变” ,,米歇尔Hazewinkel的百科全书
韦斯坦,埃里克W. ,“ 梯度 “ MathWorld 。
微积分的主题

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