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柳州文铮

CANTOR SET&ART

 
 
 

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梯度定理Gradient theorem股票数学模型对冲基金方法  

2012-12-20 10:10:16|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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梯度定理 ,也称为线积分基本定理的演算 ,说,通过梯度场的线积分可以通过评估原始标量场的曲线在端点处进行评估:

\披\(\ mathbf【q} \) -  \披\(\ mathbf {P} \)= \ int_ {\伽玛[\ mathbf {P},\ \ mathbf {q】]} \ nabla \岛(\ mathbf {R})\ CDOT D \ mathbf {R}。

这是一个概括的微积分基本定理的任何一个平面或空间(n维),而不仅仅是实线曲线。

梯度定理意味着,通过无旋矢量场的线积分与路径无关的 。 在物理学中,这个定理是定义一个“保守”力的方法之一。 通过将φ作为潜在的,?φ是一个保守的字段保守势力所做的工作不依赖于对象所遵循的路径,但只有结束点,如上述等式所示。

梯度定理也有一个有趣的相反的:可以表示为一个标量场的梯度任何保守的矢量场的 。 就像梯度定理本身,这反过来有许多惊人的后果,并在纯数学和应用数学中的应用。

证明

如果φ是从一些开集 U(R N) 可微函数为R,r是一个可微函数从一些封闭区间 [A,B]为 U,然后由多元的链式法则 , 复合函数 φ? r是可微的( 一,二)和

\压裂{D} {DT}(\ varphi \中国保监会\ mathbf {R})(T)= \ nabla \ varphi(\ mathbf {R}(T))\ CDOT \ mathbf {R}(T)

在所有的t(A,B)。 在这里,?表示的通常的内积 。

现在假设φ 域 U包含与端点p和 q,(在从p到 q的方向取向 )的可微曲线γ 。 如果 r 参数化 γt在[A,B],然后在上面显示[1]

\ {对齐} \ int_ {\伽玛} \ nabla \ varphi(\ mathbf {U})\ CDOT D \ mathbf {U} = \ int_a ^ B \ nabla \ varphi(\ mathbf {R}(T)) \ CDOT \ mathbf {R}(T)DT \ \&= \ int_a ^ B \压裂{D} {DT} \ varphi(\ mathbf {R}(T))DT \ {对齐}

的线积分定义中使用的第一个等式,并且第三 ??个等式中使用微积分基本定理 。


编辑 ]实例
编辑 ]例1。

假设γ?R 2是圆弧导向逆时针从(5,0),(-4,3)。 使用的线积分定义 ,

\ {对齐} \ int_ {\伽玛} DX + X DY&= \ INT_0 ^ {\ PI-{??\棕褐色} ^ {-1}(\压裂{3} {4})}(5 \罪吨(-5 \罪吨)+5 \ CoS的T(5 \ COS T))DT \ \&= \ INT_0 ^ {\ PI-{??\棕褐色} ^ {-1}(\压裂{3} {4}) } 25( -  {\罪} ^ 2 T + {\ COS} ^ 2吨)DT \ \&= \ INT_0 ^ {\ PI-{??\棕褐色} ^ {-1}(\压裂{3} {4}) } 25 \ COS(T)DT \ \&\ tfrac {25} {2} \罪(2)| _0 ^ {\ PI-{??\棕褐色} ^ {-1}(\ tfrac {3} {4 })} \ \&\ tfrac {25} {2} \罪(2 \ PI-2 {\棕褐色} ^ {-1}(\ tfrac {3} {4}))\ \&=  -  \ tfrac {25} {2} \罪(2 \棕褐色{} ^ {-1}(\ tfrac {3} {4}))\ \&=  -  \压裂{25(\ tfrac {3} {4})} {{(\ tfrac {3} {4})} ^ 2 +1} = -12。 \ {对齐}

请注意,所有的细致的计算,直接计算积分。 相反,由于函数f(X,Y)= xy是微R 2,我们可以简单地使用渐变定理说

\ int_ {\伽玛} DX + X DY = \ int_ {\伽玛} \ nabla \ CDOT(DX,DY)(XY)= XY | _ {(5,0)} {(-4,3)} = -4 \ CDOT 3-5 \ CDOT 0 = -12 。

请注意,无论采用哪种方式给出相同的答案,但使用后一种方法中,大部分的工作已经完成在梯度定理证明。


编辑 ]例2。

对于一个更抽象的例子,假设γ?R N端点P,Q,从P到 Q方向。 对于 u R n 中 ,让我们的| u | u 的表示欧几里德范数 。 如果α≥1是一个实数,然后

\ {对齐} \ int_ {\伽玛} | \ mathbf {X} | ^ {\α -  1} \ mathbf {X} \ CDOT D \ mathbf {X}&= \压裂{1} {\阿尔法+ 1 } \ int_ {\伽玛}(\α+ 1)| \ mathbf {X} | ^ {(\阿尔法+1)-2} \ mathbf {X} \ CDOT D \ mathbf {X} \ \&= \压裂{1} {\α+ 1} \ int_ {\伽玛} \ nabla(| \ mathbf {X} | ^ {\α+ 1})\ CDOT D \ mathbf {X} = \压裂{| \ mathbf【q } | ^ {\α+ 1}  -  | \ mathbf {P} | ^ {\α+ 1}} {\α+ 1} \ {对齐}

这里最后的等式由梯度定理,因为在函数 f(x)的= | X |α+ 1 R n 上 ,如果是可微分α≥1。

如果α<1,那么这种平等仍将保持在大多数情况下,但是必须谨慎,如果γ穿过或包围的起源,因为被积函数的矢量场| X |α-1×将失败定义。 然而,的情况下,α= -1是略有不同;在这种情况下,被积变为| X | -2 =?(记录| X |),使最终的平等成为日志| Q |日志|对|。

请注意,如果n = 1,那么这个例子仅仅是熟悉的电源从单变量微积分规则微不足道的变种。


编辑 ]例3。

假设有 n个配置在三维空间中的点电荷 ,和第 i个点电荷具有电荷 数 Q i,并位于在位置 p i R 3 中 。 我们想计算电荷量为q的粒子做的工作 ,因为它从点到B 点的R 3。 使用库仑定律 ,我们可以很容易地确定的粒子的位置 r

\ mathbf {F}(\ mathbf {R})= KQ \ sum_ {i = 1} ^ n \压裂{Q_I(\ mathbf {R}  -  \ mathbf {P} _i)} {| \ mathbf {R}  - \ mathbf {P} _i | ^ 3}

这里| U |表示在 R 3中的矢量 u的欧几里德范数 , 和 k = 1 /(4πε0),其中,ε0是真空介电常数 。

让γ?R 3 - {对1,...,P N}是从 a 到 b的任意可微曲线。 然后颗粒上所做的工作是

W = \ int_ {\伽玛} \ mathbf {F}(\ mathbf {R})\ CDOT D \ mathbf {R} = \ int_ {\伽玛} \ BIGG(KQ \ sum_ {i = 1} ^ n \压裂{Q_I(\ mathbf {}  -  \ mathbf {P} _i),} {| \ mathbf {R}  -  \ mathbf {P} _i | ^ 3} \ BIGG)\ CDOT D \ mathbf {R} = KQ \ sum_ {i = 1} ^ n \ BIGG(Q_I \ int_ {\伽玛} \压裂{(\ mathbf {R}  -  \ mathbf {P} _i)} {| \ mathbf {R}  -  \ mathbf {P} _i | ^ 3} \ CDOT D \ mathbf {R} \ BIGG)

现在,对于每一个i,直接计算表明,

\压裂{(\ mathbf {R}  -  \ mathbf {P} _i)} {| \ mathbf {R}  -  \ mathbf {P} _i | ^ 3}  -  \ nabla \(\压裂{1} {| \ mathbf {R}  -  \ mathbf {P} _i |} \右)。

因此,持续的从上面和使用梯度的定理,

W = KQ \ sum_ {i = 1} ^ n \ BIGG(Q_I \ int_ {\伽玛} \ nabla \(\压裂{1} {| \ mathbf {R}  -  \ mathbf {P} _i |} \右)\ CDOT D \ mathbf {R} \ BIGG)= KQ \ sum_ {i = 1} ^ N Q_I \ \压裂左({1} {| \ mathbf {A}  -  \ mathbf {P} _i |}  - \压裂{1} {| \ mathbf {B}  -  \ mathbf {P} _i |} \右)

我们已完成。 当然,我们可以很容易地完成这个计算的静电势静电势能 (与熟悉的公式W = U = - QΔΔV)使用强大的语言。 但是,我们尚未确定潜在的或潜在的能源,因为逆向梯度定理的证明,这些都是明确定义的,可微函数,这些公式举行( 见下文 )。 因此,我们已经解决了这个问题,使用库仑定律,作品的定义,和梯度定理。


编辑 ]逆向梯度定理

梯度定理指出,如果矢量场F是一些标量值函数的梯度,则F是一个保守的 (即与路径无关)矢量场。 这个定理有一个强大的通话;即,如果F是一个保守的矢量场,则F是一些标量值函数的梯度。 [2]表明,矢量场是与路径无关,这是很简单的,当且仅当每一个在其领域闭环矢量场的积分为零。 因此,反过来也可以表述如下:如果F的每一个闭合回路中的F域的积分为零,则F是一些标量值函数的梯度。

[show]相反的证明

编辑 ]例反过来原则
主要文章: 电势能

为了说明此相反的原则的力量,我们举一个例子,有显着的物理后果。 在古典电磁 , 电场力是一个保守的力量 ;即粒子上完成的工作是否已返回到其原始位置内的电场为零(假设没有改变磁场本)。

这就告诉我们,电动力场 F E:S→R 3是保守的(S是一些开放的 , 连接路径的子集,R 3,其中包含一个负责分配)。 的想法,上面的证明,我们可以设置一些参考点, 一个在 S,定义一个函数U E:S→R

U_e(\ mathbf {红})=  -  \ int_ {\伽玛[\ mathbf {A},\ mathbf {R}} \ mathbf {F} _e(\ mathbf {U})\ CDOT D \ mathbf {U }

使用上面的证明,我们知道U E的定义和微F E = - ?U E(从这个公式我们可以使用梯度定理很容易得到著名的公式计算保守势力的工作: W =-ΔU)。 这个函数 U e被通常称为的收费系统, 在 S(与零的潜力的一个参考)作为静电势能 。 域 S在许多情况下,假定要无界和参考点被取为“无穷大”,它可以作出严格的使用限制的技术。 函数 U e是一个不可缺少的工具,用于在许多物理系统的分析。


编辑 ]推广
主要文章: 斯托克斯定理封闭和准确的微分形式

许多向量微积分的关键定理的归纳优雅的流形上的微分形式整合报表。 在语言的不同形式外部的衍生工具 ,渐变定理指出,

\ int_ {\部分\伽玛} \φ= \ int_ {\伽玛} \ mathrm {D} \披

在一些可微曲线定义的任何0形式 φγ?R n上 (积分φ的γ的边界上方在这里被理解为是在端点处的γφ评价)。

请注意惊人的相似这一说法,并说,任何紧支撑的一些定向流形Ω的边界上的微分形式ω的积分是相等的积分,在整个外微分 dω的斯托克斯定理 ,广义版本Ω,即

\ int_ {\部分\欧米茄} \ OMEGA = \ int_ {\欧米茄} \ mathrm {D} \ OMEGA

这个强大的语句是一个广义的梯度定理1定义任意维流形上的微分形式的一维流形上定义的形式。

的梯度定理相反的声明还具有强大的流形上的微分形式的概括。 特别地,假定ω是在一个收缩的域所定义的一种形式,ω超过任何封闭的歧管的积分为零。 存在ψ这样ω=dψ。 因此,在一个可收缩的域,每一个封闭的形式是准确的 。 这样的结果是总结了庞加莱引理 。


编辑 ]参见
“国家职能”
标势
Jordan曲线定理
差异的功能
经典力学
编辑 ]
威廉姆森,理查德和猪蹄,硬朗。 (2004)。 多变量数学,四版,页。 374。 培生教育出版公司
 b 威廉姆森,理查德和特罗特,硬朗。 (2004)。 多变量数学,四版,页。 410。 培生教育出版公司

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