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柳州文铮

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卡拉比-丘流形Calabi–Yau manifold股票数学模型对冲基金方法  

2012-12-12 13:03:54|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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File:Calabi yau.jpg



一段的五次卡拉比-丘3倍( 3D投影

一个卡拉比-丘流形 ,也被称为一个卡拉比-丘空间 ,是一种特殊类型的歧管 ,显示了在某些如代数几何 ,以及在理论物理数学分支。 特别是在超弦理论中 , 时空的额外维度有时推测,采取的形式的一个6维的卡拉比-丘流形,从而导致镜像对称的想法。

卡拉比-丘流形是复流形 ,高维类似物的K3曲面 。 他们有时被定义为紧凑凯勒流形,典型的捆绑是微不足道的,虽然有时也用于许多其他类似的但不等价的定义。 他们被命名为“卡拉比-丘空间” 烛光等。 (1985 )后, 大肠杆菌 卡拉比 ( 1954 , 1957 )首先研究了他们的人,和ST油 ( 1978 )证明了卡拉比猜想 ,他们有利玛窦平坦度量。

定义

有许多不同的不等价的定义由不同的作者使用的卡拉比 - 丘流形。 本节总结了一些比较常见的定义和它们之间的关系。

一个卡拉比-丘n倍或卡拉比-丘流形维数为n有时被定义为一个紧凑的n维凯勒流形M满足以下等价条件之一:


规范束 的 M是微不足道的。
M的全纯n-形式消失无处。
可以减少结构组的 M U(n)的SU(N)。
M具有的SU(n)中包含的全球乐群 K?hler度量。

这些条件意味着,首次积分的陈类 C 1(M)为 M消失,但反之是不正确的。 最简单的例子,发生这种情况,是一个复杂的环面,复杂的维度2,已消失的第一个不可分割的陈类,但规范的包是不平凡的超椭圆表面 ,有限的智商。

一个紧凑的n维凯勒流形M满足下列条件,相当于给对方的,但弱于上述条件,有时被用来作为一个卡拉比-丘流形的定义:


M已经消失的第一个真正的陈类 。
M有一个消失Ricci曲率的 K?hler度量。
M具有的SU(n)中包含的与本地乐群 K?hler度量。
规范束 的 M一个积极的力量是微不足道的。
M有一个的有限覆盖有平凡的规范束。
M的有限覆盖,这是一个产品的一个圆环和一个简单的连接歧管琐碎的规范束。

如果一个紧凑凯勒歧管被简单地连接,然后在特定的弱上述定义是相当于更强的定义。 Enriques面给出的例子的复流形有利玛窦平坦的度量,但它们的规范束不是微不足道的,因此它们是卡拉比的油歧管根据所述第二而不是第一上述定义。 他们的双封面是卡拉比 - 丘流形的两个定义(其实K3的表面)。

到目前为止,最困难的部分是要证明上述的各种属性之间的等价证明存在的平里奇指标。 在此之前,从油,这意味着一个紧凑的Kahler流形与消失的第一个真正的陈类有一个在同一类中消失Ricci曲率的K?hler度量的卡拉比猜想的证明。 (K?hler度量类的上同调类及其相关的2 - 形式)。卡拉比这样的指标是独特的。

还有许多其他的不等价定义的卡拉比 - 丘流形,有时使用的,它不同于以下列方式(其中包括):


第一陈类作为一个整体的类或作为一个真正的类可能消失。
大多数定义断言,卡拉比 - 丘流形结构紧凑,但一些让他们成为非紧。 在推广到非紧流形,不同的 (\欧米茄\楔形的\圆钢\欧米茄 -  \ OMEGA ^ N / N!) 必须渐近消失。 在这里, \ OMEGA 是凯勒的形式,与K?hler度量 克 (田1990年 , 1991年 )。
一些定义的卡拉比-丘流形的基本要求,它是有限的或微不足道的,如限制。 任何卡拉比 - 丘流形具有有限的封面是一个圆环和一个简单的卡拉比 - 丘流形的产品。
一些定义要求,乐群正好等于SU(N),而不是它的一个子群,这意味着霍奇号码 , 我消失为0 <I <DIM(M)。 阿贝尔的表面有一个里奇平坦度量与乐群严格小于SU(2)(其实是微不足道的),所以是根据这样的定义,卡拉比 - 丘流形。
大多数定义,卡拉比 - 丘流形的黎曼度量,但有些没有把他们当作复流形度量。
大多数的定义假定的歧管是非奇异的,但一些让温和的奇点。 尽管在陈省身类失败是很好的定义为奇异的卡拉比 - 丘的,在典型的捆绑和规范的类还可以被定义,如果所有的奇点是Gorenstein内,并因此可能被用于向延伸的一个平滑的卡拉比 - 丘流形的定义,以一个可能的奇异卡拉比 - 丘品种。
编辑 ]实例

在一个复杂的尺寸中,唯一的紧凑的例子是环面 ,形成一个单参数家庭。 里奇平坦度量一个圆环实际上是一个平坦度量 ,使乐群是平凡群SU(1),。 的一维的卡拉比油歧管是一个复杂的椭圆曲线 ,以及尤其是, 代数 。

在两个复杂的方面, K3的表面提供唯一的紧凑简单地连接了卡拉比-丘流形。 非单连通的例子被给定的交换表面 。 Enriques表面超椭圆表面有第一陈省身类,消失的真正的上同调组的元素,但不作为的组成上同调组的元素,所以油的定理有关存在一个里奇平坦度量仍适用于他们,但他们有时会不被认为是卡拉比 - 丘流形。 阿别良表面有时排除是卡拉比-丘的分类,作为他们的乐群(再次琐碎基) SU(2),而不是同构于SU(2)是一个适当的子群 。

在三个复杂的尺寸,可能卡拉比 - 丘流形的分类,是一个开放的问题,,虽然油怀疑,有一个数量有限的家庭虽然比他估计的数量从20年前的一个更大的。 一个三维的卡拉比油歧管的一个例子的三倍,CP 4 ,这是代数的各种组成的均匀五次多项式中的齐次坐标系的CP 4的所有的零点是一个非奇异五次 。 另一个例子是平滑模型的巴特·涅托五次 。 通过各种Z 5行动是一些离散的商数五次卡拉比-丘,在文献中已经获得了很多的关注。 其中之一的是,相关的原始五次镜像对称 。

对于每一个正整数 n,非奇异的均匀度N +2复射影空间CP N +1的齐次坐标的多项式的零点集是一个小型的卡拉比-丘n倍。 的情况下,n = 1的描述的椭圆曲线,而当 n = 2 1求出K3的表面。

所有的超凯勒流形是卡拉比-丘。


编辑 ]在超弦理论中的应用

卡拉比-丘流形在超弦理论是很重要的。 在最传统的超弦模型,在弦理论中的 10个推测的尺寸应该出来,其中4个,我们都知道,携带某种纤维化与纤维尺寸6。 的紧致卡拉比-丘N-褶皱是非常重要的,因为他们留下一些原来的超对称不绝。 更精确地说,在没有通量 ,紧凑化上的卡拉比-丘3倍(真实尺寸6)离开四分之一如果乐群是完整的SU(3)的原始超对称不间断。

更一般地,无焊剂的紧凑化歧管与乐群SU(n)的在 n-叶2 1 - n的原始超对称不间断,对应于2 6 -正增压在一个紧凑化II型超引力或2 5 -正增压在一个紧的I型通量的超对称条件,而不是意味着,紧歧管是一个广义的卡拉比-丘 , 希钦(2003 )提出的概念。 这些模型被称为通量紧化 。

从本质上讲,卡拉比 - 丘流形的形状,满足要求的空间的六个“看不见”的空间维度,弦理论,这可能是因为他们还没有被检测到我们目前观察到的长度小于。 被称为大额外维度,这往往发生在braneworld模型,是一种流行的替代,卡拉比-丘大,但我们只限于一小部分,它相交的D-膜上 。

F-理论紧化在不同的卡拉比-丘4倍物理学家提供一个方法,找到了大量的经典解决方案在所谓的弦理论的景观 。


编辑 ]
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编辑 ]外部链接
卡拉比-丘主页是一个互动的范围,介绍了许多实例和类的卡拉比-丘流形和它们出现的物理理论。
纺纱卡拉比-丘空间的视频。
卡拉比-丘空间杰夫·布莱恩特, Wolfram演示项目由Andrew J.汉森的额外捐款。
韦斯坦,埃里克W. ,“ 卡拉比-丘的空间 “ MathWorld 。
油,ST 卡拉比-丘流形 (类似于2009年 (  ))

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