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柳州文铮

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拓扑向量空间Topological vector space股票数学模型对冲基金方法  

2012-11-28 14:44:45|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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加法运算是连续的0,当且仅当每一个邻域U 0 0,存在一个邻域V, 闵可夫斯基和 V + V是包含在 U。

数学上 ,一个拓扑矢量空间 (也称为线性拓扑空间 )是功能分析研究的基本结构之一。 正如其名称所暗示的空间融合了拓扑结构( 均匀的结构要精确)与代数概念的向量空间 。

拓扑向量空间中的元素,是典型的功能或作用于拓扑向量空间的线性算子,通常被定义的拓扑结构,以捕捉一个特定的概念,函数序列的收敛。

Hilbert空间Banach空间是众所周知的例子。

除非另有说明,相关领域的一个拓扑向量空间被假定为C或 R。

定义


如果是连续的0的乘法运算,那么对于任何邻域U 0和任何标量λ存在一个邻域V,0λV是包含在 U。 这个必要条件变得足够,以及如果增加额外的假设是,的特里尔(1967年 ,第3章)。


一个家庭邻里的起源与上述两个属性决定了独特的拓扑向量空间。 通过翻译系统的向量空间中的任何其他点的地区。

在一个拓扑领域 K(最常见的真实的复杂的数字与标准的拓扑结构)被赋予了一个拓扑结构 ,使得向量加法的拓扑向量空间 X是一个向量空间 X×X→X和标量乘法K表 ×X→X 连续函数 (其中这些功能域具有产品拓扑)。

一些学者(例如, 鲁丁 )需要在 X的拓扑结构是T 0 ,随后的空间是豪斯多夫 ,甚至Tychonoff不 。 拓扑和线性代数的结构可以更紧密地连接在一起,提供额外的假设, 下面列出其中最常见的。

拓扑向量空间中的 ,在一个给定的拓扑域 K通常表示,TVS K表或TVect的K表 。 对象是K 上拓扑向量空间中的同态连续的K-线性映射从一个对象到另一个。


编辑 ]实例

所有赋范向量空间 ,因此,所有的Banach空间Hilbert空间 ,拓扑向量空间的例子。

不过,也有拓扑向量空间的拓扑结构引起的一种常态,但仍然在分析的兴趣。 这样的空间的例子是在一个开放的领域,空间无限可微函数, 施瓦茨空间 ,和空间的测试功能和空间的分布全纯函数空间。 这些都是例子蒙特尔空间 。 另一方面,无穷维蒙特尔威廉空间从未normable。

一个拓扑领域是其子域的拓扑向量空间。


编辑 ]向量空间

赋予产品的拓扑结构拓扑向量空间中的一个家庭,当一个笛卡尔积是一个拓扑向量空间。 例如,所有的功能的集合 X 号码:R→R。X可以被确定与产品空间R R,并带有一种天然产品拓扑 。 采用这种拓扑结构,X成为一个拓扑向量空间,称为逐点收敛的空间 。 这个名字的原因是这样的:如果(N)是一个序列的元素在X,F N有限制的 ,当且仅当f在 x F N(x)有限F(X)的每一个实数 x 。 这个空间是完整的,但不normable:确实在产品的拓扑结构,每个社区的0包含线, 即设置K F,F≠0。


编辑 ]拓扑结构

的矢量空间是一个交换群相对于加法运算,并在拓扑向量空间的逆操作始终是连续的(因为它是乘以-1的相同)。 因此,每一个拓扑向量空间是Abel 拓扑群 。

设 X是一个拓扑向量空间。 给定一个子空间M?X的商空间X / M与通常的商拓扑是Hausdorff拓扑向量空间,当且仅当M被关闭。 [1]这使得下面的结构:给定一个拓扑向量空间 X(即可能不是的Hausdorff),形成的商空间X / M,其中 M是{0},X / M,然后是Hausdorff矢量拓扑空间封闭,可以研究代替 X。

特别是拓扑向量空间中是均匀的空间 ,因此,人们可以谈论完整性 , 一致收敛性连续性统一的 。 (这意味着每一个Hausdorff拓扑向量空间是完全正 [2] )的向量空间的加法和标量乘法的操作实际上是一致连续的。 因为这一点,每一个拓扑向量空间可以被完成,因此是一个密集的 线性子空间的一个完整的拓扑向量空间。

拓扑向量空间中的规范,如果它的拓扑结构可以诱导说是normable的 。 拓扑向量空间是normable [3]当且仅当它是Hausdorff的一个的凸邻域内的0。

如果一个拓扑向量空间是半可度量 ,也就是,可由下式给出一个半度量 ,然后半度量可以选择平移不变拓扑。 此外,拓扑向量空间是可度量化,当且仅当它是Hausdorff的,并有一个可数的基地(即,在原点的一个邻域基)。

两拓扑向量空间,这是一个线性算子连续在一个点上,对整个域是连续的。 此外,一个线性算子f是连续的, 如果f(V)的有界的一些邻域V,0。

超平面上的拓扑向量空间 X是密集或关闭。 一个线性泛函 f的一个拓扑向量空间 X是致密的或封闭的内核。 此外,f是连续的,当且仅当其内核关闭 。

每一个豪斯多夫有限维拓扑向量空间是同构的一些拓扑域 K 到 K n。 特别是Hausdorff拓扑向量空间是有限维的当且仅当它是局部紧 。


编辑 ]本地概念

一个拓扑向量空间 X的一个子集E被认为是


平衡如果TE?E为每标| T |≤1
有界的,如果每一个邻域V,0,然后E?电视当 t足够大。 [4]

有界性的定义可以削弱一点,E是有界的,当且仅当每一个可数子集,它是有界的。 此外,E是有界的,当且仅当每一个平衡的邻域V,0,存在t使得E?电视 。 此外,当X是局部凸的有界性的特点半范数的子集E是有界的,当且仅当每连续半范数p E 上是有界的。

每一个拓扑向量空间中有一个本地的吸收平衡的集基地。

一个序列{x n}的被说成是的柯西如果每一个邻域V,0, 差 x 米 - X N属于v当m和 n足够大。 每一个柯西序列是有限的,,虽然柯西网或柯西过滤器的可能是有界的。 拓扑向量空间,每一个柯西序列收敛是按顺序完成,但可能是不完整的(在这个意义上收敛柯西过滤器)。 每一个紧集是有界的。


编辑 ]类型的拓扑向量空间

根据应用程序的附加的约束通常执行的空间上的拓扑结构。 事实上,一些主要的功能分析结果未能保持在一般的拓扑向量空间的闭图定理 , 开映射定理和空间的对偶空间的分隔点的空间。

下面是一些常见的拓扑向量空间中,大约责令其美好的事物 。


局部凸拓扑向量空间 :在这里,每个点都有一个当地的基地组成的凸集 。 被称为闵可夫斯基函的技术,它可以证明是局部凸空间当且仅当它的拓扑结构可以被定义为一个家庭的半规范。 局部凸“几何”的参数,如Hahn-Banach定理的最低要求。
桶装空间 :局部凸空间期Banach斯坦豪斯定理成立。
蒙特尔空间 :管,每一个封闭有界集紧凑的空间
包囿空间 :局部凸空间,任何局部凸空间的连续线性算子是完全有界线性算 。
LF-空间 Frechet可微空间的限制 。, ILH空间逆极限的Hilbert空间。
F-空间 完成拓扑向量空间与平移不变度量。 这些措施包括L P空间的所有P> 0。
Frechet可微空间 :这些都是完备局部凸空间的拓扑结构是从一个平移不变的指标 ,或等价的:从可数半范的家庭。 许多有趣的功能空间都属于这一类。 局部凸F-空间是一个Frechet空间。
核空间 :这是局部凸空间的属性,每核空间的有界地图的任意Banach空间是一个核运算符 。
赋范空间赋半范空间 :局部凸空间的拓扑结构可以描述为一个单一的规范半规范 。 在赋范空间中线性算子是连续的,当且仅当它是有界的。
Banach空间 :完整的赋范向量空间 。 大部分的功能??分析,制定了Banach空间。
自反Banach空间的 Banach空间自然同构双层双(见下文),以确保可以进行一些几何参数。 一个重要的例子,这是不是自反是L 1,L∞,但严格中包含的双L∞的双。
Hilbert空间 :这些有一个内积 ,即使这些空间可以是无穷维,最熟悉从有限尺寸的几何推理可以在其中进行的。
欧氏空间 R N 或 C n的标准内积诱导的拓扑。 上一节中指出,对于一个给定的有限?,只有一个n维拓扑向量空间,同构。 因此,任何有限维子空间的TVS关闭。 有限维度的一个特性是Hausdorff TVS是局部紧的当且仅当它是有限维(因此同构的到一些欧氏空间)。
编辑 ]双空间

每一个拓扑向量空间中有一个连续的对偶空间的集合V *的连续线性泛函,即从空间上的连续线性映射到基域 K。 上的双甲拓扑可以被定义为,使得配对的双V *)×(V→K是连续的粗拓扑。 局部凸拓扑向量空间,这将双。 这种拓扑结构称为弱*拓扑 。 这可能不是唯一的自然拓扑的对偶空间,例如,双Banach空间具有天然的规范定义就可以了。“ 然而,这是非常重要的应用中,因为它的紧凑性属性(见巴拿赫- Alaoglu定理 )。


编辑 ]
^ 特别是,X是Hausdorff当且仅当集合{0}被关闭(即,X是T 1的空间 。)
^ H. 舍费尔,16
^ http://eom.springer.de/T/t093180.htm
^ 鲁丁
编辑 ]
格罗滕迪克,A. (1973)。 拓扑向量空间 。 纽约::戈登和违反科学出版社。 ISBN 0-677-30020-4 。
K?the,G.(1969)。 拓扑向量空间 。 Grundlehren得mathematischen学问。159。 纽约: 施普林格出版社 , ISBN 0-387-04509-0 。
H.(1971),赫尔穆特·舍费尔。 拓扑向量空间 。 GTM 3。 纽约:施普林格出版社, ISBN 0-387-98726-6 。
郎塞尔 (1972年)。 微分流形 。 阅读,马萨诸塞州-伦敦-唐·米尔斯,安大略省。:Addison-Wesley出版公司, ISBN 0-201-04166-9 。
WJ罗伯逊罗伯逊,AP(1964年)。 拓扑向量空间 。 剑桥大片数学53。 剑桥大学出版社 。
特里尔,F.(1967)。 拓扑向量空间,分布,仁 文献出版社 ISBN 0-486-45352-9 。

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