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柳州文铮

CANTOR SET&ART

 
 
 

日志

 
 

集理论Set theory股票数学模型对冲基金方法  

2012-11-15 15:24:25|  分类: 股票数学模型对冲 |  标签: |举报 |字号 订阅

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一个维恩图说明了两个集合的 交集

集理论研究的数学分支,它是对象的集合。 虽然任何类型的对象可以收集到一组,集理论是最常见的,是有关数学的对象。 集合论的语言可以用于几乎所有的数学对象中的定义。

在19世纪70年代,集理论的现代研究是由乔治·康托尔理查德·戴德金 。 在天真集合论 悖论的发现后,众多的公理系统提出了在二十世纪早期, 策梅罗-弗伦克尔公理 , 公理的选择 ,是最有名的。

集理论作为基础系统的数学,特别是通常采用的形式的策梅罗-Fraenkel集合论选择公理 。 除了 ??它的基础性作用,理论是数学的一个分支,在自己的权利,积极研究社会。 当代设置的理论研究,包括不同的主题集合,范围从实数线的结构研究的大基数一致性 。

历史


乔治·康托尔

数学题目通常出现和发展,通过许多研究人员之间的互动。 然而,集理论,创立由一个单一的文件在1874年由乔治·康托尔 :“在所有实代数数”的一个特征性质。 [1] [2]

自公元前5世纪以来,开始与希腊数学家埃利亚的芝诺在西方早在东印度的数学家 ,数学家一直在努力与无限的概念。 特别值得一提的是在19世纪上半年的工作, 伯纳德·博尔扎诺 。 [3]现代理解为无穷大在1867年至1871年开始,数论Cantor的工作。 1872年会议之间Cantor和理查德·戴德金的影响康托尔的思想,并最终在康托的1874纸。

Cantor的工作最初两极化的数学家,他的一天。 虽然维尔斯特拉斯支持康托尔和戴德金, 利奥波德·克罗内克 ,现在被看作是数学建构主义的创始人之一,没有。 Cantorian集理论最终成为广泛的,由于的Cantorian概念,如1-到-1对应集合之间的实用程序,他的证明,那里有更真实的数字不是整数的“无穷大,无穷大”(“ Cantor的天堂 “)导致从功率设定操作。 此实用程序集理论的的文章“Mengenlehre”贡献于1898年由阿瑟夫立 克莱因的百科全书 。

下一波的兴奋中集理论来在1900年左右,当它被发现,Cantorian集理论给了上升几个矛盾,所谓的二律背反或矛盾 。 伯特兰·罗素安永会计师事务所策梅罗独立发现的最简单和最好的著名悖论,现在叫罗素悖论 :认为“不属于自己所有集合的集合”,这导致了一个矛盾,因为它必须是一个成员本身,而不是其自身的成员。 在1899年,康托尔自己提出这样的问题:“所有集合的集合的基数是什么?“,并获得了相关的悖论。 拉塞尔用他的矛盾为主题在他的1903年审查大陆数学在他的数学原理 。

集理论的势头是这样的,辩论的矛盾并没有导致其放弃。 策梅罗于1908年, 亚伯拉罕·弗伦克尔在1922年的工作导致的一组公理ZFC ,成为规范[ 可疑 - 讨论 ]公理集合论。 如亨利·勒贝格 分析师的工作表明,这已经成为织成的织物的现代数学集合理论的伟大的数学工具。 常用集理论为基础的系统,尽管在一些地区范畴理论被认为是一个优选的基础。


编辑 ]基本概念
主要文章:  组(数学)代数

集理论的基本对象o和集合 A之间的二元关系开始。 如果o是一个(或元素 ) 的 成员 ,写?∈A。 集对象,从属关系与台。

两组之间的关系是派生的二进制 ,也被称为集包含的子集关系。 如果所有的成员集合 A,B 组的成员, 则 A是B 的 子集 , 记为A?B。 例如,{1,2},{1,2,3}的一个子集,但{1,4}不是。 从这个定义,这是清楚的,一组的一个子集本身的情况下,其中一个要排除在此,术语“ 适当的子集定义。 称 A是B 的一个适当的子集,当且仅当A是一个子集B,但B 不是 A 的一个子集。

正如算术功能的二进制运算的 数字 ,理论特征集上的二元运算的。 的:


联盟的A和B,A∪B表示,是集的所有对象的一个成员的,或B,或两者。 的联集{1,2,3}和{2,3,4}是集合{1,2,3,4}。
路口的集 A 和B,A∩B表示,是集A和 B的成员的所有对象。 {1,2,3}和{2,3,4}的交点是集合{2,3}。
设置不同的 U和A,表示为U \ 一个 ,是集所有成员的 U 成员 。 差集{1,2,3} \ {2,3,4},{1},而,相反,差集{2,3,4} \ {1,2,3} {4}。 当 A 的 U的一个子集,差集ü\ A也被称为 一个在 U。 在这种情况下,如果选择的 U从上下文中是明确的,符号一个 c有时使用而不是U \ A,尤其是当U是一个普遍组 维恩图中的研究。
对称差集A和 B是集合中的一个是一个部件的所有对象A和 B(这是在一体的成套的元素,但不是在两者)。 例如,对于集合{1,2,3},{2,3,4},对称差集是{1,4}。 这是工会和路口的差集,(A∪B)\(A∩B)(A \ B)∪(B \ A)。
A 和 B 的 笛卡尔积 ,记为A×B,是一组,其成员都是可能的有序对 (A,B),其中一个是A和 B是B的成员的成员。{1,2}和{红色,白色}是{(1,红),(1,白色),(2,红),(2,白色)}的笛卡尔乘积。
动力装置 是一组,其成员是所有可能的子集的集合。 例如,{1,2} {{},{1},{2},{1,2}}的幂集。

中央重要的一些基本集是空集 (不含有元素的唯一的一组)的自然数的集合,和实数的组。


编辑 ]一些本体论
主要文章: 宇宙·冯·诺伊曼


冯·诺伊曼层次的初始段。

纯的,如果所有的成员是一组一组的所有成员,其成员是一组,依此类推。 例如,仅含有空集的集是一个非空的纯的集。在现代集理论,它是常见的限制注意的冯·诺伊曼宇宙的纯套,和许多系统的公理集合论公理化的纯集。 有很多技术优势,在这种约束下,小一般性丢失,因为基本上所有的数学概念模型可以由纯台。 在冯·诺伊曼宇宙被组织成一个累计的基础上,深感自己的成员,成员的成员等的嵌套层次 ,集。 该层次结构中的每个组分配( 超限递归 )的序数 α,其排名。 被定义为一个纯粹的集 X级以上上限,队伍所有成员的 X。 例如,空集被分配的序号为0,而只包含空集的集被分配等级1。 对于每个序数α,α的集合 V定义为包括所有的纯套,排名低于α。 冯·诺伊曼整个宇宙记为V。


编辑 ]公理集合论

国集理论可以非正式地,直观地研究,所以可以教小学的维恩图 。 直观的方法默认假设有一组可形成从类的所有对象满足任何特定的定义条件。 这个假设产生矛盾,最简单的和最有名的是罗素悖论Burali福蒂悖论 。 公理集合论最初设计摆脱这种矛盾的一套理论。 [4]

研究最广泛的系统的公理集合论意味着所有集合形成一个累积的层次 。 这样的系统有两种形式,那些本体包括:


设置孤独 。 这包括最常见的公理集理论, 策梅罗Fraenkel集合论 (ZFC),其中包括选择公理 。 ZFC的片段包括:
策梅罗集理论 ,取代了更换分离 公理模式 ;
集理论 ,一个小片段足够的皮亚诺公理有限集的的策梅罗集理论 ;
克里普克,的普拉特克一套理论 ,而忽略了无穷的公理, 选择 ,并削弱了公理模式的分离更换 。
集和适当的类 。 这包括冯·诺伊曼伯奈斯,哥德尔集理论 ,它具有相同的强度ZFC台单独的定理,并莫尔斯的凯利集理论 ,这是强于ZFC。

上述系统可以被修改以允许urelements ,可以是集的成员的对象,但本身不是设置和不具有任何成员。

该系统的新的基础 NFU(允许urelements )和NF(没有)没有根据累积的层次。 NF和NFU包括“组的一切,”相对于每一套具有补。 在这些系统urelements的问题,因为NF,但不NFU组选择公理不成立。

建设性的一套理论系统,如CST,CZF,IZF,嵌入自己设定的一阶逻辑, 直觉主义逻辑,而不是公理。 然而,其他系统都接受标准的一阶逻辑,但设有一个非标准的从属关系。 这些措施包括粗糙集理论模糊集理论 ,其中的原子公式体现的从属关系不是简单的值True或 False。 ZFC布尔值模型相关的主题。

丰富的ZFC 内部集理论 ,提出了由爱德华·尼尔森于1977年。


编辑 ]应用程序

许多数学概念可以定义精确的使用只设置理论概念。 例如,不同的图形 , 歧管 , 戒指 ,和向量空间的数学结构都可以被定义套满足各种(不言自明的)属性。 等效性秩序的关系是无处不在数学,数学关系的理论可以说是在集理论。

集理论是一种很有前途的很多数学基础系统。 的“数学原理”第一册出版以来,它一直声称,大部分甚至所有的数学定理可以得出一个恰当的设计,使用第一第二阶逻辑的公理集合论,扩充了许多定义。 例如, 自然实数的属性可以被来自集合论内的,每个数字系统可以识别与等价类的一组下一个合适的等价关系,其字段是一些无限集 。

数学分析 , 拓扑结构 , 抽象代数 , 离散数学的基础理论,同样是没有争议的,数学家接受(原则上)在这些领域所产生的相关定义和公理集合论中的定理。 很少有完整的复杂的数学定理的推导集理论已正式核实,但是,因为这样的正式的推导往往更长的时间比自然语言证明数学家普遍出现。 验证项目, Metamath ,包括超过10,000 ZFC公理和定理开始使用一阶逻辑的推导。


编辑 ]研究领域

集理论是一种主要在数学的研究领域,有许多相互关联的子域。


编辑 ]组合集理论
主要文章: Infinitary组合数学

组合集理论的有限组合数学涉及扩展到无限集合。 这包括基数算术的研究和扩展Ramsey的定理,鄂尔多斯雷达定理的研究。


编辑 ]描述集合论
主要文章: 描述集合论

描述集理论研究的实线 ,更普遍的是, 波兰空间的子集的子集。 大型Borel层次结构中的pointclasses与研究开始,并延伸到更复杂的研究如射影层次结构魏吉层次结构的层次结构。 波莱尔套的许多性质可以成立于ZFC,但证明这些属性对于更复杂的套需要额外的公理确定性和大基数有关。

领域的有效描述集理论是集理论和递归论 。 它包括研究的浅体pointclasses ,密切相关, hyperarithmetical理论 。 古典描述集理论结果在许多情况下,有有效的版本,在某些情况下,通过以下方式获得新的结果证明的有效版本,然后延伸的(“相对化”)它,使之更广泛地适用。

一个波莱尔研究问题的等价关系和更复杂的自定义等价关系的新领域。 这在许多领域的数学不变量的研究有着重要的应用。


编辑 ]模糊集理论
主要文章: 模糊集理论

在设置康托尔定义和策梅罗弗伦克尔公理化的理论,对象是一组的成员,或者不。 模糊集理论在这种情况下放宽卢特菲A.扎德这样一个对象都有一个隶属度在一组,0和1之间的数字。 例如,一个人“身材高大的人”组中的成员资格的程度是不是一个简单的是或否的答案,更灵活,可以是一个实数,如0.75。


编辑 ]内蒙古模型理论
主要文章: 内蒙古模型理论

内部模型的策梅罗Fraenkel集合论(ZF)是一个传递 ,包括所有的序号,并满足所有的ZF公理。 典型的例子是由哥德尔宇宙构造的 大号发展。 的内部模型是研究的兴趣的原因之一是,它可以用来证明的一致性的结果。 例如,它可以表明,无论一个V 型的ZF是否满足连续统假设公理的选择 ,内内的原始模型构建的模型 L同时满足广义连续统假设和选择公理。 因此,假设,ZF是一致的(具有至少一个模型)意味着ZF连同这两个原则是一致的。

内部模型的研究是很常见的,在确定性大基数的研究,特别是考虑到,如确定性的公理公理相抵触的选择公理。 即使设定一个固定的模式,理论满足公理的选择,它有可能失败的内部模型的选择,以满足公理。 例如,在存在足够大的枢机主教表示,有一个内模,,满足公理确定性(因此不符合公理的选择)。 [5]


编辑 ]大枢机主教
主要文章: 大基数的

一个大的红衣主教是一个基数与一个额外的属性。 许多这样的特性进行了研究,包括无法访问的枢机主教 ,可衡量的枢机主教 ,和许多更多。 这些属性通常意味着基数是非常大的,一个大是大非指定的属性不可证明的的策梅罗-Fraenkel集合论的存在。


编辑 ]确定性
主要文章: 确定性

确定性是指事实证明,在适当的假设,某些确定的两个玩家的游戏,完美的信息从一开始就在这个意义上,一个球员必须有必胜策略。 这些策略的存在具有重要的后果在描述集理论,假设确定一个更广泛的类的游戏往往意味着更广泛的集合类都有一个拓扑属性。 的公理的确定性 (AD)是一种重要的研究对象,虽然不符合公理的选择,AD意味着所有的子集,实线表现很好(在特定的,可衡量的和完美的属性)。 AD可以用来证明魏吉度有一个优雅的结构。


编辑 ]强制
主要文章: 强制(数学)

保罗·科恩发明的方法强迫 ,同时寻找一个模型中, ZFC 公理的选择,连续统假设失败。 强制接一些给定的模型集理论组附加,以创造一个更大的模型(即“被迫”)的建设和原始模型的性能。 例如,科恩的建筑毗邻额外的自然数的子集,而无需改变任何原始模型的基数 。 强制也证明相对一致性 finitistic方法,其他方法是布尔值模型的两种方法之一。


编辑 ]枢机主教不变
主要文章: 基数不变

的基数不变的是一个真正的在线测量属性的基数。 例如,研究不变的是最小的基数微薄的实数的工会是整个实线的集合。 这些不变量,在这个意义上,任何两个同构的模型集理论必须给出相同的大是大非为每一个不变的。 许多大是大非的不变量进行了研究,它们之间的关系往往是复杂的,相关设置理论的公理。


编辑 ]集合论的拓扑结构
主要文章: 集合论的拓扑结构

集合论的拓扑结构研究问题的一般拓扑结构 ,设置理论在本质上,或者需要为他们的解决方案集理论的先进方法。 这些定理是独立于ZFC,需要更强的公理他们的证明。 一个有名的问题是正常的摩尔空间问题 ,问题在一般的拓扑结构,深入研究的主题。 最终被证明是独立于ZFC正常的摩尔空间问题的答案。


编辑 ]反对设置为基础的数学理论

从集理论的开始,一些数学家提出反对意见, 数学基础 。 最常见的反对理论, 克罗内克集理论的最初几年中表达,从建构主义认为,数学是松散相关的计算。 如果这种观点是理所当然 ??的,那么治疗的无限集合,无论是在天真和公理集合论,引入数学方法和对象,甚至在原则上是不可计算的。 维特根斯坦的方式提出了质疑, 策梅罗-Fraenkel集合论处理无穷大。 需要的引证 ]维特根斯坦的看法,数学的基础,后来批评乔治缸内保罗·伯内斯,克里斯平·赖特和密切的调查,其中包括。

分类的理论家提出TOPOS理论作为一种替代传统的公理集合论。 TOPOS理论可以解释这一理论的各种替代方案,如建构主义 ,有限的一套理论, 可计算集理论[6] 。


编辑 ]参见

分类理论
的设置理论主题列表
音乐集理论涉及音乐组合学群论的应用,使用有限的事实,它设置外,它没有做任何形式的数学集合论。 在过去的二十年中,在音乐的变换理论已采取更严格的数学集合论的概念(见卢因1987年)。
关系模型 -借用集理论。
编辑 ]
^ 领唱者,乔治,“Ueber EINE Eigenschaft德Inbegriffes阿列尔reellen algebraischen Zahlen”, J. (1874) REINE Angew。 数学 77:258-262, DOI :10.1515/crll.1874.77.258
^ 约翰逊,菲利普(1972年), 设置理论的历史 ,Prindle,韦伯和施密特, ISBN 0-87150-154-6
博尔扎诺(Bolzano),伯纳德 (1975年),贝尔格,日,版, 导论楚Gr??enlehre和迪Begriffe德allgemeinenGr??enlehre,伯纳德-博尔扎诺Gesamtausgabe编辑爱德华Winter等人。,。二,A,7,斯图加特的巴特坎施塔特:弗里德里希·Frommann出版社,。 152, ISBN 3-7728-0466-7
^ 在他的1925年, 约翰·冯·诺伊曼指出,“集理论中的第一次,”天真“的版本,由于康托尔,导致矛盾,这是所有集合的集合不包含(罗素著名的二律背反 “),该组所有transfinte序数(Burali-福蒂),和该组的所有有限可定义的实数(理查德)。 他观察到两个“趋势”,试图“恢复”的一套理论。 第一次努力,例如 朱利叶斯·柯尼希 , 伯特兰·罗素 , 外尔LEJ布劳威尔 ,冯·诺伊曼被称为“整体效应,他们的活动...毁灭性的”。 策梅罗 , 亚伯拉罕·弗伦克尔阿瑟·莫里茨夫立组成的第二组的公理化方法方面,冯·诺伊曼担心说:“我们看到的仅是已知的导致二律背反失败的推理模式,但谁知道有没有人? “ ,他的任务,“第二组”的精神,以“通过数量有限的纯粹的正式运营...我们希望看到形成了”集生产,但不允许的二律背反。 从冯·诺伊曼1925(所有报价均转载面包车Heijenoort,让(1967年,第三次印刷1976),“从弗雷格到哥德尔:工具书的数理逻辑,1979年至1931年,马萨诸塞州剑桥,哈佛大学出版社ISBN 0-674 -32449-8 (PBK)。书面的面包车Heijenoort,一个概要的历史,可以发现在之前的评论说,冯·诺伊曼的1925。
Jech,托马斯 (2003年), 集理论:第三个千年版 ,斯普林格数学专着中,柏林,纽约: 施普林格出版社 , ISBN 978-3-540-44085-7 ,P。 642。
铁,Omodeo,比如施瓦茨,JT(1980),“决策程序集理论的基本的子语言。一,多层次的三段论和一些扩展, 通讯。 纯应用。 数学 33(5):599-608, DOI :10.1002/cpa.3160330503
编辑 ]进一步阅读
德夫林,基思 (第二版)1993年的喜悦套 。 施普林格出版社, ISBN 0-387-94094-4
Ferreirós,圣何塞,2007年(1999年)。 迷宫的思想:历史的集理论及其在现代数学中的作用 。 巴塞尔,Birkh?user。 ISBN 978-3-7643-8349-7
约翰逊,1972年,菲利普。 集理论的历史 。 Prindle,韦伯和Schmidt ISBN 0-87150-154-6
丘嫩,午 ,1980年将理论:独立证明 。 北荷兰省, ISBN 0-444-85401-0 。
瓷砖,玛丽,2004年(1989年)。 集理论的哲学:历史介绍领唱者的天堂 。 多弗出版物 。
编辑 ]外部链接

Hazewinkel,米歇尔,编辑。 (2001年), “设置理论” , 百科全书
福尔曼,M. , 昭洋金森 ,主编。 集理论手册第3卷,2010年。 每章集理论在当代研究调查的某些方面。 不包括建立基本的一套理论,在其上看到德夫林(1993)。
亚瑟夫立 (1898) Mengenlehre克莱因的百科全书 。

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